Классификация уровней в частных произведениях второго порядка



страница4/5
Дата09.06.2021
Размер0,84 Mb.
1   2   3   4   5
Определить тип уравнения

(5.2.15-1)

и привести его к каноническому виду.

Решение:
1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15-1).

(5.2.16-1)

,

или


(5.2.16-1)
Из уравнения (5.2.16-1) следует

, (5.2.17-1)

. (5.2.18-1)

Так как , уравнение (5.2.15-1) гиперболического типа имеет вид , или во всей плоскости XOY.

Из (5.2.17-1, 4.2.18-1) имеем

, ,

, .
или

, .

, .
Функции и являются характеристиками преобразования координат. Таким образом получаем уравнения характеристик

, . (5.2.19-1)

Найдем частные производные




2. Пересчитываются все производные, входящие в уравнение (5.2.15-1), используя правило дифференцирования сложной функции (5.2.20):

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (5.2.15-1) при соответствующих производных. Справа (5.2.15-1) имеем , в (5.2.19-1) из первого уравнения вычитаем второе и после возведения в степень получаем



.

Собирая подобные слагаемые, получим:


.
Или после деления на -100 (коэффициент при ) получим:


Вывод. Уравнение (5.2.15-1) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

,
где

5.2.4.2 Задача 2



Определить тип уравнения

(5.2.15-2)

и привести его к каноническому виду.

Решение:

1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15-2).



(5.2.16-2)

,

или


(5.2.16-2)
Вычисляется выражение :

.

, следовательно имеем уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.

Из уравнения (5.2.16-2) следует



,

. (5.2.17-2)

Имеем только одно уравнение характеристик (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик)



общий интеграл равен



Введём характеристические переменные: одну из переменных вводим как и ранее



(5.2.19-2)

а в качестве функции берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через , при этом проще ориентироваться на правую часть уравнения (5.2.15-2). Так как то функцию можно взять .



, (5.2.19-2)

Найдем частные производные




2. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение (5.2.15-2).

Используя формулы (5.2.20), получим:



Собирая подобные слагаемые, получим:


.
Или после деления на 25 (коэффициент при ):


Вывод. Уравнение (5.2.15-2) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

,

где


.

5.2.4.3 Задача 3


Определить тип уравнения

(5.2.15-3)

и привести его к каноническому виду.

Решение:
1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15-3).

(5.2.16-3)

,

или


(5.2.16-3)
Вычисляется выражение

.

, следовательно имеем уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

Из уравнения (5.2.16-3) следует



, ,

, ,
, .

это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)



Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов:





(5.2.19-3)

Найдем частные производные



2. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение (5.2.15-3).

Используя формулы (5.2.20), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (5.2.15-3) при соответствующих производных. Справа (5.2.15-3) имеем , из (5.2.19-3) следует


.

Собирая подобные слагаемые, получим:


,


или


Вывод. Уравнение (5.2.15-3) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид уравнения

,
где

5.3. Уравнение Лапласа в полярной системе координат




Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница