Классификация уровней в частных произведениях второго порядка


вторая каноническая форма



страница3/5
Дата09.06.2021
Размер0,84 Mb.
1   2   3   4   5
вторая каноническая форма гиперболического типа уравнения в частных производных.

Пример. Привести уравнение к каноническому виду

,

здесь , , . Тогда уравнение в новых переменных будет



.

Выбираются переменные и такие, чтобы , для этого уравнения, т.е. составляется характеристическое уравнение (5.2.6)



,

находим


,

.

Решение. , - являются характеристиками для исходного уравнения, тогда новые переменные принимают вид



, .

, , , ,

,

,

,

,

т.е. - первая каноническая форма гиперболического уравнения.



,

,

т.е. - вторая каноническая форма гиперболического уравнения.


5.2.2.Каноническая форма уравнения параболического типа

,

Уравнения (5.2.7), (5.2.8) совпадают и тогда получается один общий интеграл для (5.2.6) и - определяют характеристику. Полагая



, .

Тогда из уравнения (5.2.4) вытекает



=0,

так как , то



,

тогда получается следующее уравнение параболического типа в канонической форме



. (5.2.12)
5.2.3. Каноническая форма уравнения эллиптического типа

Для уравнения эллиптического типа и правые части (5.2.7) и (5.2.8)- комплексные. Пусть - комплексный интеграл уравнения (5.2.7). Тогда - общий интеграл сопряженного уравнения (5.2.8).

Вводятся другие переменные

, ,

так что


, .

Выбираются переменные и такие, чтобы



.

Находятся производные , ,



, , ,

тогда








,

так как комплексное число равно нулю, то и составляющие его части равны нулю



,

,

значит ,



.

И из формулы (5.2.4) получается



, . (5.2.13)

Формулой (5.2.13) определяется каноническая форма эллиптического типа уравнения в частных производных.



Пример. Привести к каноническому виду уравнение

,

, следовательно, уравнение эллиптического типа. Выбираются новые координаты, связанные с поворотом координатных осей (рис. 5.2)

, ,

Рис. 5.2
, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

,



.

Теперь все эти производные поставляются в исходное уравнение и получается



,

или окончательно



.

И так, в зависимости от знака выражения имеют место следующие канонические формы уравнения (5.2.1):



(гиперболический тип) , или ,

(эллиптический тип) ,

(параболический тип) .
5.2.4. Алгоритм приведения уравнения к канонического виду

Определить тип линейного уравнения в частных производных второго порядка
(5.2.14)

или


, (5.2.15)

где

Вводится новая система координат и .

Ставится задача выбора системы координат и , чтобы уравнение (5.2.14) имело наиболее простую форму в новых переменных . Имеем .

У равнение координатной линии в системе координат имеет вид . Полный дифференциал этой функции двух переменных равен нулю и



т.е. производные и пропорциональны друг другу в каждой точке плоскости и коэффициент пропорциональности . Каждая криволинейная система координат имеет свою характеристику и по ней можно определить само уравнение координатной линии



, , .

1. Составляем характеристическое уравнение для (5.2.15).



(5.2.16)

Из уравнения (5.2.16) следует



, (5.2.17)

. (5.2.18)

В зависимости от знака выражения имеют место следующие канонические формы уравнения (5.2.15):



(гиперболический тип) , или ,

(эллиптический тип) ,

(параболический тип) .

Из (5.2.17, 4.2.18) имеем



, ,

или


, .

Функции и являются характеристиками преобразования координат. Таким образом получаем уравнения характеристик



, . (5.2.19)



    • в случае уравнения параболического типа в качестве берут один из общиг интегралов (5.2.19), т.е. , в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию , не выражающуюся через и ориентированную на вид функции в формуле (5.2.14), т.е. ;

    • в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (5.2.19) :



  1. Пересчитываются все производные, входящие в уравнение (5.2.14), используя правило дифференцирования сложной функции:


.

,

, (5.2.20)

.

.
Подставляются найденные производные в исходное уравнение (5.2.14) и приводятся подобные слагаемые. В результате уравнение (5.2.14) примет один из следующих видов:

    • в случае уравнения гиперболического типа:

;

    • в случае уравнения параболического типа:

;

    • в случае уравнения эллиптического типа:

.
5.2.4.1 Задача 1



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница