Классификация уровней в частных произведениях второго порядка


характеристическое уравнение



страница2/5
Дата09.06.2021
Размер0,84 Mb.
1   2   3   4   5
характеристическое уравнение для (5.2.1).

Из уравнения (5.2.6) следует



, (5.2.7)

. (5.2.8)

Из (5.2.7) имеем



, ,

, .

Функции и называются характеристиками преобразования координат. Таким образом получаем уравнения характеристик



, .

Уравнение (5.2.1)



в точке называется уравнением:



гиперболического типа, если ;

эллиптического типа, если ;

параболического типа, если .

Уравнение (5.2.1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично,

эллиптично, параболично в каждой точке этой области.

Уравнение (5.2.1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение является уравнением эллиптического типа в точках ; параболического типа в точках ; и гиперболического типа в точках .

Непосредственной проверкой устанавливается справедливость тождества:

,

где .

Из которого следует инвариантность типа уравнения при преобразовании переменных, так как Якобиан .

Для того чтобы было возможно введение новых переменных и , надо убедиться в независимости этих функций, достаточным условием чего является отличие от нуля функционального определителя.

Пусть в некоторой точке

.

Тогда имеет место



,

что невозможно, так как



,

и

.

Через каждую точку области проходят две характеристики , , причем для уравнений гиперболического типа - характеристики действительные и различные; для уравнений эллиптического типа – комплексные и различные; для уравнений параболического типа обе характеристики действительные и совпадают.

Для каждого типа уравнений существует своя каноническая форма. Термин каноническая форма заимствована из теории кривых второго порядка.


5.2.1. Каноническая форма для уравнения гиперболического типа

,

правые части (5.2.7), (5.2.8) различные и общие интегралы , - определяют действительные семейства характеристик. Полагая



, . (5.2.9)

Тогда и находятся исходя из характеристического уравнения (5.2.6) и в уравнении (5.2.4) коэффициенты и . И из уравнения (5.2.4) следует



, (5.2.10)

это первая каноническая форма уравнения гиперболического типа. Уравнению гиперболического типа придадим другой вид. Для (5.2.9) можно ввести другие переменные



, ,

тогда


, ,

,

так как , ,



,

, ,

тогда получается



, (5.2.11)



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница