30. Основные понятия теории множеств. Операции над множествами. Множеством



Дата22.12.2020
Размер229 Kb.

30. Основные понятия теории множеств. Операции над множествами.

Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое. Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение множества — «множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а элементы этих множеств — маленькими буквами латинского алфавита. Множества записываются в фигурных скобках { }.

Принято использовать следующие обозначения:



  • a ∈ X — «элемент a принадлежит множеству X»;

  • a ∉ X — «элемент a не принадлежит множеству X»;

  • ∀ — квантор произвольности, общности, обозначающий «любой», «какой бы не был», «для всех»;

  • ∃ — квантор существования: ∃y ∈ B — «существует (найдется) элемент y из множества B»;

  • ∃! — квантор существования и единственности: ∃!b ∈ C — «существует единственный элемент b из множества C»;

  • : — «такой, что; обладающий свойством»;

  • → — символ следствия, означает «влечет за собой»;

  • ⇔ — квантор эквивалентности, равносильности — «тогда и только тогда».

Множества бывают конечные и бесконечные. Множества называются конечным, если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число n, являющееся числом элементов множества. А={a1, a2,a 3, ..., an}. Множество называется бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов. B={b1,b2,b3, ...}. Например, множество букв русского алфавита — конечное множество. Множество натуральных чисел — бесконечное множество.

Число элементов в конечном множестве M называется мощностью множества M и обозначается |M|. Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента — ∅. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и тоже множество. Множества не равны X ≠ Y, если в Х есть элементы, не принадлежащие Y, или в Y есть элементы, не принадлежащие Х. Символ равенства множеств обладает свойствами:



  • Х=Х; — рефлексивность

  • если Х=Y, Y=X — симметричность

  • если X=Y,Y=Z, то X=Z — транзитивность.

Согласно такого определения равенства множеств мы естественно получаем, что все пустые множества равны между собой или что то же самое, что существует только одно пустое множество.

Операции с множествами.



  1. Включение множества А в множество В (А Ì В) . При этом каждый элемент множества А является элементом множества В, и множество А называется подмножеством множества В. В частности, А=В, если все элементы множества А принадлежат множеству В и наоборот.

  2. Объединение множеств А и В (АÈ В) - множество элементов, каждый из

которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В.

  1. Пересечение множеств А и В (АÇ В) - множество всех элементов, принадлежащих одновременно А и В.

  2. Разность множеств А и В (А\В) – множество элементов множества А, не

принадлежащих множеству В.
Определение 13.1. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым

множеством.

Определение 13.2. Пусть заданы непустые множества Х и Y. Соответствие, при котором

каждому элементу множества Х соответствует некоторый элемент множества Y,

называется отображением Х на Y.

31. Числовые множества. Аксиома непрерывности прямой. Общее понятие отображения. Взаимно-однозначное отображение. Эквивалентные множества.
В математике чаще всего мы имеем дело с множествами, элементов которыми являются числа. Такие множества называются числовыми.

N - множество натуральных чисел,

Z - множество целых чисел,

Q - множество рациональных чисел,



R - множество действительных чисел.
Определение 13.2. Пусть заданы непустые множества Х и Y. Соответствие, при котором каждому элементу множества Х соответствует некоторый элемент множества Y, называется отображением Х на Y.

36. Односторонние пределы. Теорема о пределе монотонной функции.


ТЕОРЕМА:





38. Теорема о двух милиционерах.{\displaystyle \lim _{x\to a}\varphi (x)=\lim _{x\to a}\psi (x)=A\Rightarrow \lim _{x\to a}f(x)=A.}



Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница