Задача Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы: (1)



Дата08.04.2019
Размер0,79 Mb.
ТипЗадача
N-МЕРНОЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО И РАНГ МАТРИЦЫ
Задача 1. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:
(1)
Решение: Согласно определения, вектор является линейной комбинацией векторов системы (1), если существуют такие числа что выполняется равенство:
(2) .
Так как векторы, стоящие в левой и правой частях равенства (2) равны, то компоненты этих векторов, стоящие на одинаковых местах также равны. Найдем компоненты вектора, стоящего в правой части равенства (2). По определения операции сложения арифметических векторов и умножении вектора на число имеем:

Нами найдены компоненты вектора, стоящего в правой части равенства (2), которые должны быть равны соответствующим компонентам вектора :
(3)
Таким образом, если существуют числа удовлетворяющие равенству (2), то эти числа будут удовлетворять системе равенств (3). Следовательно решение задачи сводится к вопросу о существовании решений системы линейных уравнений (3) с неизвестными . Для решения этой системы способом Гаусса выпишем расширенную матрицу, причем коэффициенты второго уравнения поставим на первое место:


Выполните самостоятельно, какие преобразования совершались на каждом шаге. В результате получаем, что система линейных уравнений (3) имеет решение:


т.е. существуют числа , , такие, что имеет место равенство: .

Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов системы (1):

.
Задача 2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы (1) (см. задачу 1).

Решение: Вектор будет линейной комбинацией векторов системы (1), если существуют такие числа удовлетворяющие равенству
(4)  .
Эта задача, аналогично рассмотренному в задаче 1, сводится к вопросу о существовании решений системы линейных уравнений
(5)
Выписав расширенную матрицу этой системы и решая систему способом Гаусса:


Замечаем, что она несовместна, т.е. не имеет решений. Следовательно, не существует чисел , удовлетворяющих равенству (4), значит вектор не является линейной комбинацией векторов системы (1).
Задача 3. Выяснить будет ли линейно зависимой каждая из систем векторов:

(6)
(7)
Решение: 1) Исследуем для начала систему (6). Согласно определения, система (6) будет линейно зависимой, если существуют числа не все равные нулю, удовлетворяющие равенству (8) , где в правой части стоит нулевой арифметический вектор. Если же равенство (8) справедливо только тогда, когда все равны нулю, то система (6) – линейно независима. Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо выяснить при каких значениях имеет место равенство (8). Учитывая условие равенства векторов и то, что все компоненты нулевого вектора равны нулю, от векторного равенства (8) перейдем к равенству компоненты:


Решая эту систему уравнений способом Гаусса, находим, что она имеет единственное нулевое решение. Следовательно, равенство (8) имеет место только тогда, когда все равны нулю, значит система векторов (6) линейно независима.

2) Рассматривая теперь систему (7) можно заметить, что линейная зависимость или независимость этой системы связана с тем при каких значениях имеет место векторное равенство (10)  . Заменяя это векторное равенство системой уравнений относительно компонент:

и решая эту систему уравнений способом Гаусса, находим, что система уравнений неопределенна и имеет общее решение , , – свободное. Положив находим частное ненулевое решение системы: , , , . Таким образом, справедлива равенство . Следовательно система векторов (7) линейно зависима.
Задача 4. Выяснить, при каких значениях параметра система векторов

будет линейно зависимой.



Решение: Для решения задачи необходимо выяснить, при каких значениях параметра будут существовать числа не все равные нулю, удовлетворяющие равенству (11) .

От векторного равенства (11) перейдем к системе линейных уравнений:


(12)
Решим эту систему способом Гаусса, выписывая матрицу из коэффициентов и совершая над её строчками элементарные преобразования. Самостоятельно определите, какие именно преобразования совершались на каждом шаге.

Замечаем, что коэффициенты и зависимы от параметра , причем , если . При этом же значении коэффициент также равен нулю. Таким образом. если , то система уравнений (12) сведется к трапецеидальному виду и будет иметь наряду с нулевым решением также и ненулевые. Следовательно, при существуют числа не все равные нулю, что выполняется равенство (11), поэтому данная система векторов линейно зависима. Найдите самостоятельно общее решение системы (12) и значения не все равные нулю при которых выполняется равенство (11). Если же равенство (12) имеет место только тогда, когда все равны нулю, значит, данная система векторов в этом случае линейно независима.
Задача 5. Найти какой-либо базис системы векторов:
(13)
и выразить через него все остальные векторы.

Решение: Для нахождения базиса данной системы векторов используем элементарные преобразования. Известно, что элементарные преобразования переводят данную систему векторов в эквивалентную её систему и что с помощью элементарных преобразований любую систему арифметических векторов можно привести к ступенчатому (лестничному) виду. Для удобства данные векторы запишем как строчки матрицы, и все преобразования будем совершать над этими строчками. Самостоятельно выясните, какие преобразования совершались.


Таким образом, данная система векторов (13) свелась к эквивалентной ступенчатой системе из двух первых векторов , . Ступенчатая де система (14) линейно независима и сама является своим базисом.

Следовательно, базисом данной системы будет система (14) и ранг данной системы (т.е. число векторов в базисе) равен двум. По определению базиса, все векторы системы (13) линейно выражаются через базис (14).



Очевидно, что , . Выразим через базис векторы и , т.е. найдем числа и такие, что и . Проделаем вычисления для вектора . От векторного равенства перейдем к координатам, получим систему уравнений:

единственным решением которой являются числа , , следовательно, . Аналогично получаем, что .
Задача 6. Найти значение ранга системы векторов

в зависимости от параметра .

Решение: Известно, что ранги эквивалентных систем векторов равны. Поэтому данную систему векторов с помощью элементарных преобразований сведем к эквивалентной лестничной системе, ранг которой будет равен числу векторов в данной системе. Аналогично решению предыдущей задачи, векторы данной системы запишем в виде строчек матрицы:

Дальнейшие преобразования в общем виде делать нельзя, т.к. элементы , , зависят от параметра и могут принимать нулевое значение. Рассмотрим первый случай, когда , т.е. случай, когда . При этом значении третья и четвертая строка будут нулевыми и лестничная система векторов содержит два вектора, следовательно, её ранг будет равен двум. Изучим второй случай, когда . В этом случае , , . Все элементы третьей и четвертой строк умножим на число , т.е. продолжим элементарные преобразования над данной системой векторов:

В результате получим, что лестничная система состоит из четырех векторов, следовательно, её ранг равен четырем, поэтому при ранг данной системы векторов также равен четырем. Таким образом, при ранг данной системой векторов равно двум и при ранг равен четырем.
Задача 7. Найти ранг матрицы


Решение: Прямоугольную матрицу можно рассматривать либо как систему векторов-строк, либо как систему векторов-столбцов и найти соответственно строчечный и столбовой ранги матриц. Известно, что эти ранги равны между собой и называются рангом матрицы. Для нахождения ранга данной матрицы систему векторов-строк сведем к ступенчатому виду:

Выясните самостоятельно какие элементарные преобразования совершены над строчками данной матрицы. Например, чтобы элемент обратить в нуль мы третью строчку матрицы умножили на 7 и к полученной сточке прибавили вторую строку матрицы, умноженную на 2. В результате проделанных преобразований данную матрицу свели к ступенчатому виду, т.е. к матрице , причем . Так как , то и ранг данной матрицы также равен трем.
Задача 8. Найти значение ранга матрицы

в зависимости от значения параметра .

Решение: Сведем данную матрицу к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строчками




Элемент зависит от параметра . Легко заметить, что при элемент . Рассмотрим случай, когда . Полученная после преобразований матрица имеет вид:

и её ранг равен трем. При матрица имеет вид:

и её ранг равен двум. При всех значениях элемент и ранг матрицы равен трем. Таким образом, при ранг данной матрицы равен двум, при ранг матрицы равен трем.

По рекомендации преподавателя выполните одно из индивидуальных заданий, особое внимание обратите на решение задач, содержащих параметры.


1
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :

6. Найти ранг матрицы:




7. Найти значение ранга матрицы:

в зависимости от значения параметра .
2
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы:

в зависимости от значения параметра .
3
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:



2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы:


в зависимости от значения параметра .

4
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:



2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :

6. Найти ранг матрицы:




7. Найти значение ранга матрицы:

в зависимости от значения параметра .
5
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
6
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:


2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
7
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :

6. Найти ранг матрицы:




7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
8
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:




5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
9
1. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


2. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:


3. При каких значениях система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
10
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти ранг матрицы:


6. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :



7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
11
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
12
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
13
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
14
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:



3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.

15
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:



2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
16
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:



5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
17
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:




5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
18
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.

19
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:



2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:



7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
20
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:



5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
21
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:




5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
22
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:



3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.


23
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
24
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:


5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.
25
1. Выяснить, будет ли линейно-зависимой данная система векторов:

2. Узнать, является ли вектор линейной комбинацией векторов системы:


3. При каких значениях k система векторов будет линейно-зависимой?

4. Найти какой-либо базис системы векторов и выразить через него все векторы системы:




5. Найти значение ранга системы векторов в зависимости от значения параметра :


6. Найти ранг матрицы:


7. Найти значение ранга матрицы при всевозможных значениях параметра .
.

Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница