Всероссийская олимпиада по математике Муниципальный этап 2015–2016 уч г. 7 класс 1



Дата27.04.2016
Размер52.6 Kb.
Всероссийская олимпиада по математике

Муниципальный этап 2015–2016 уч. г.

7 класс
7.1. В стакане находился раствор, в котором вода составляла 99%. Стакан с раствором взвесили, и вес оказался равен 500 гр. После этого часть воды испарилась, так что в результате доля воды составила 98%. Сколько будет весить стакан с получившимся раствором, если вес пустого стакана 300 гр?

7.2. Дан прямоугольник, у которого длина в полтора раза больше ширины. Известно, что периметр прямоугольника численно равен его площади. Найдите стороны прямоугольника.

7.3. На столе стоит куб. Можно ли расставить в его вершинах 8 чисел; 1, 2, ..., 8 так, чтобы выполнялись следующие два условия: 1) если сложить для каждого из четырех вертикальных ребер два числа на его концах, то у всех четырех ребер суммы будут одинаковыми; 2) сумма чисел на верхней грани равна сумме чисел на нижней?

7.4. Существуют ли такие два двузначных числа, что если к первому из них прибавить 20, а из второго вычесть 15, то полученные числа останутся двузначными, а их произведение окажется равным произведению исходных чисел?

7.5. Прямоугольник площади 2015 см разлинован на 2015 клеток со стороной 1 см. Этот прямоугольник разрезали двумя перпендикулярными разрезами вдоль линий сетки и получили четыре прямоугольника. Докажите, что хотя бы у одного из них площадь не меньше 528 см2.

Всероссийская олимпиада по математике

Муниципальный этап 2015–2016 уч. г.

8 класс
8.1. В стакане находился раствор, в котором вода составляла 99%. Стакан с раствором взвесили, и вес оказался равен 500 гр. После этого часть воды испарилась, так что в результате доля воды составила 98%. Сколько будет весить стакан с получившимся раствором, если вес пустого стакана 300 гр?

8.2. На столе стоит куб. Можно ли расставить в его вершинах 8 чисел; 1, 2, ..., 8 так, чтобы выполнялись следующие два условия: 1) если сложить для каждого из четырех вертикальных ребер два числа на его концах, то у всех четырех ребер суммы будут одинаковыми; 2) сумма чисел на верхней грани равна сумме чисел на нижней?

8.3. Существует ли треугольник, высоты которого равны а) 2; 3; 6 ? б) 2; 3; 5?

8.4. а) Докажите что существует такая пара двузначных чисел, что если к первому числу прибавить 20, а из второго вычесть 15, то полученные числа останутся двузначными, а их произведение окажется равным произведению исходных чисел? б) Сколько всего таких пар?

8.5. Дан выпуклый 37-угольник, у которого все углы выражаются целым числом градусов. Докажите, что среди углов имеются хотя бы три одинаковых.

Всероссийская олимпиада по математике

Муниципальный этап 2015–2016 уч. г.

9 класс
9.1. Сколько имеется пятизначных натуральных чисел, делящихся на 9, у которых последняя цифра больше предпоследней на 2?

9.2. а) Докажите, что если натуральные числа х, у удовлетворяют уравнению , то х = у. б) Существуют ли различные положительные действительные числа х, у, удовлетворяющие этому уравнению?

9.3. Можно ли построить на координатной плоскости а) квадрат площади 10 с целочисленными координатами вершин? б) многоугольник периметра 12 и площади 4 с целочисленными координатами вершин?

9.4. Дана окружность с диаметром АВ. Точка С – середина одной из полуокружностей с концами А, В. Из точки С проведены два луча под углом 45° друг к другу; лучи пересекают диаметр АВ в точках Р, Q, а окружность – в точках М и N (точки Р, М лежат на одном луче, a Q, N – на другом; на диаметре точки расположены в таком порядке: А, Р, Q, B). Докажите соотношение для площадей треугольников: .

9.5. Дан выпуклый 37-угольник, у которого все углы выражаются целым числом градусов. Докажите, что среди углов имеются хотя бы три одинаковых.

Всероссийская олимпиада по математике

Муниципальный этап 2015–2016 уч. г.

10 класс
10.1. Сколько имеется пятизначных натуральных чисел, делящихся на 9, у которых последняя цифра больше предпоследней на 2?

10.2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению .

10.3. а) Докажите, что если натуральные числа х, у удовлетворяют уравнению , то х = у. б) Существуют ли различные положительные рациональные числа х, у, удовлетворяющие этому уравнению?

10.4. Дана окружность с диаметром АВ. Точка С – середина одной из полуокружностей с концами А, В. Из точки С проведены два луча под углом 45° друг к другу; лучи пересекают диаметр АВ в точках Р, Q. а окружность – в точках М и N (точки Р, М лежат на одном луче, a Q, N – на другом; на диаметре точки расположены в таком порядке: А, Р, Q, B). Докажите соотношение для площадей треугольников: .

10.5. У Пети скопилось много кусочков пластилина трех цветов, и он плотно заполнил пластилином полый куб со стороной 5 см, так что в кубе не осталось свободного места. Докажите, что внутри куба найдутся две точки одного цвета на расстоянии ровно 7 см друг от друга.

Всероссийская олимпиада по математике

Муниципальный этап 2015–2016 уч. г.

11 класс
11.1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению .

11.2. а) Докажите, что если натуральные числа х, у удовлетворяют уравнению , то х = у. б) Существуют ли различные положительные действительные числа х, у, удовлетворяющие этому уравнению?

11.3. Дана окружность с диаметром АВ, касающаяся прямой d в точке В. Через точку А проведены два луча, пересекающие прямую d в точках М и N, а окружность – в точках P и Q (точки Р, М лежат на одном луче, a Q, N – на другом). а) Докажите, что длины отрезков удовлетворяют неравенству . б) Докажите, что , где – длина дуги с концами P и Q , не содержащей точку А.

11.4. Найдите геометрическое место точек М на координатной плоскости, таких, что две касательные, проведенные из М к параболе у = х2, перпендикулярны друг другу.

11.5. У Пети скопилось много кусочков пластилина трех цветов, и он плотно заполнил пластилином полый куб со стороной 5 см, так что в кубе не осталось свободного места. Докажите, что внутри куба найдутся две точки одного цвета на расстоянии ровно 7 см друг от друга.
Каталог:


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница