Определенный интеграл как функция верхнего предела.
Производная от определенного интеграла по верхнему пределу.
Теорема 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.
Другими словами, справедлива формула
ЧИТАТЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ЕСЛИ ВЫ СДАЁТЕ НА 5 Доказательство. Из формулы (2) следует, что
(3)
где через Δx обозначено приращение аргумента x (рис. 4)
Рис.4
Из формул (3) и (2) получаем, что
(4)
где через ΔS обозначено приращение функции S (x), соответствующее приращению аргумента Δx (рис. 5)
(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство
(5)
смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой m, и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой M. Из неравенства (5) следует, что
