Задача. (О площади криволинейной трапеции)
Формулируется следующим образом:
Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: на отрезке ,
– ось . Найти площадь . Особенность заключается в том, что верхняя линия в криволинейной трапеции задается функцией. Идея метода – разбить отрезок на определенные маленькие отрезки и считать площади каждого прямоугольника (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к первой задаче
Рассмотрим подробно первое действие. А именно разбиение отрезка на равных частей. Отрезок разбивается на равных частей точками .
Величина .
Важно отметить особенности построения. Если , независимо от того, разобьем мы отрезок на 100, 200 или больше частей.
Второе действие. Зафиксируем и приближенно найдем площадь в
Как мы это сделаем? Площадь искомой криволинейной трапеции заменим поступенчастой линией. Значение функции на отрезке [ ] мы заменим значением функции в левом конце . Таким образом, мы имеем прямоугольники. У них одинаковые основания. А высота – значения функции в левом конце.
Площадь первого прямоугольника .
Площадь второго прямоугольника .
И так далее.
Таким образом, мы разбили площадь на отдельные прямоугольники, сосчитали площадь каждого прямоугольника и суммируем эти площади, получаем:
Итак, при фиксированном примерное значение функции мы имеем. Но это примерное. Как получить точное?
Устремим . Тогда ступенчатая ломаная будет стремиться занять положение функции . И сумма будет стремиться к искомой площади. Более точно: .
