Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные. Частные производные высших порядков.
Функции нескольких переменных.
Предел и непрерывность.
Частные производные.
Частные производные высших порядков.
Производная по направлению. Градиент.
Исследование функции нескольких переменных на экстремум.
Метод наименьших квадратов.
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов.
Первообразная
Определение 1. Функцию F (x) , определенную на интервале (a, b), называют первообразной функции f (x) , определенной на интервале (a, b), если для каждого выполнено равенство
F' (x) = f (x) .
Например, из справедливости равенства
(sin 2x)' = 2 cos 2x
вытекает, что функция F (x) = sin 2x является первообразной функции f (x) = 2 cos 2x .
Замечание. Функция F (x) = sin 2x не является единственной первообразной функции f (x) = 2 cos 2x , поскольку функция F (x) = sin 2x + 10 , или функция F (x) = sin 2x – 3 , или функции вида F (x) = sin 2x + c , где c – любое число, также являются первообразными функции f (x) = 2 cos 2x .
Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.
Теорема 1. Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a, b) , то любая другая первообразная функции f (x) на интервале (a, b) имеет вид
F (x) + с ,
где c – некоторое число.
Неопределенный интеграл.
Определение 2. Множество всех первообразных функции f (x) называют неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначают
Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции f (x) по dx» .
Если F (x) является первообразной f (x) , то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:
Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде
подразумевая, но не указывая специально, что c – любое число.
В формуле (3) функцию f (x) называют подынтегральной функцией, выражение f (x) dx нызывают подынтегральным выражением, а число c называют постоянной интегрирования.
Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.
Свойства неопределенного интеграла.
Интегрирование методами замены переменной и по частям.
Замена переменной в неопределенном интеграле
Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.
Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию). Справедливо равенство
где k – любое число.
Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.
Правило 2 (интеграл от суммы функций). Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле
то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.
Правило 3 (интеграл от разности функций). Интеграл от разности функций вычисляется по формуле
то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.
Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной). Из справедливости формулы
вытекает, что
если все входящие в формулу (4) функции f (φ (x)), φ' (x), F (φ (x)) определены.
Доказательство правила 4. Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы (4):
Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы (4), что и требовалось.
Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция φ (x) является линейной функцией, то есть
φ (x) = kx + b ,
что k и b – произвольные числа, .
В этом случае
φ' (x) = k ,
и формула (4) принимает вид
Формула (5) часто используется при решении задач.
По частям.
Метод интегрирования по частям используется тогда, когда нужно упростить имеющийся неопределенный интеграл или свести его к табличному значению. Чаще всего он применяется в случае наличия показательных, логарифмических, прямых и обратных тригонометрических формул и их сочетаний в подынтегральном выражении. Основная формула, необходимая для использования этого метода, выглядит так: ∫ f ( x ) d x = ∫ u ( x ) d ( v ( x ) ) = u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) d ( u ( x ) )
Поделитесь с Вашими друзьями: |
