Выпускная квалификационная работа по специальности Математика с дополнительной специальностью Физика Теория орнамента. Работы М. Эшера



страница14/19
Дата13.05.2018
Размер2.76 Mb.
ТипБиография
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   19
Инварианты

Задача о погремушках — одна из популярных задач школьных математических олимпиад. Школьник, не знакомый с теорией групп, вероятно, стал бы решать ее следующим образом.

Три черных шарика разбивают все кольцо на три участка, в каждом из которых имеется некоторое количество белых шариков, скажем, m, n, k. Числа m, n, k заключены в пределах от 0 до 7, причем m + n + к = 7. Важен ли порядок, в котором берутся эти числа? Нет, так как поворачивая и переворачивая игрушку, этот порядок можно как угодно менять. Условимся считать, что . Задача, таким образом, свелась к перечислению всех троек m, n, k неотрицательных целых чисел, которые удовлетворяют условиям m+n+k = 7 и . Вот они: 0, 0, 7; 0, 1, 6; 0, 2, 5; 0, 3, 4; 1, 1, 5; 1,2,4; 1,3, 3; 2, 2,3.

Почему для решения задачи оказалось возможным использовать тройку чисел m,n, k? Потому что, во-первых, у игрушек, которые считаются одинаковыми, этитройки совпадают, а, во-вторых, если тройки чисел у двух игрушек одинаковы, то сами игрушки можно расположить так, что они будут неразличимы. Первое свойство Можно переформулировать следующим образом: для двух погремушек, принадлежащих одной орбите группы , тройки чисел совпадают, т. е. значения m, n, k постоянны на орбитах.

Рассмотрим общую ситуацию. Пусть группа G действует на множестве М. Отображение множества М в некоторое множество N называется инвариантом действия, если его значения на элементах одной орбиты всегда совпадают. Множество N при этом может состоять из объектов любой природы. В рассмотренном выше примере это множество состояло из троек чисел: m, n, k. Одно число m (наименьшее) также будет инвариантом рассматриваемого действия.



Рис. 9

Этот инвариант, однако, не обладает вторым свойством: например для игрушек, изображенных на рис. 9, m = 0. Таким образом, видим, что с помощью одного числа нельзя различить, одинаковы ли погремушки. В связи с этим инвариант действия группы, который на различных орбитах принимает различные значения, называют различающим.

Рассмотрим группу движений плоскости. Эта группа естественным образом действует на плоскости. Что представляет собой орбита некоторой точки плоскости? Очевидно, это вся плоскость: достаточно уже одних переносов, чтобы перевести данную точку в любую другую. Нахождение инвариантов не представляет никакого интереса: инвариантом может быть только постоянное отображение.

Действуя на точки плоскости, группа движений действует и на множестве отрезков. В этом случае уже нельзя совместить друг с другом два произвольных отрезка. Все зависит от их длин. Если длины отрезков равны, то отрезки можно совместить движением, т. е. отрезки лежат в одной орбите. Если же длины отрезков различны, то совместить отрезки движением нельзя. Таким образом, длина отрезка представляет собой различающий инвариант действия группы движений на множестве всех отрезков плоскости.

Если Н — подгруппа в группе движений, то она также действует на плоскости. Если она «достаточно мала», то и ее орбиты будут «небольшими». В этом случае могут появиться интересные инварианты. Так, при действии на плоскости группы поворотов с центром А орбитами являются окружности с центрами в точке А. В этом случае появляется инвариант одной точки — расстояние от нее до центра поворота, причем инвариант различающий. Если выбрать на плоскости полярные координаты, совместив полюс с точкой А, то расстояние от точки до полюса А превращается в полярную координату г этой точки, а всякий инвариант является функцией различающего инварианта, т. е. имеет видf(r), где r — произвольное отображение.

Рассмотрим действие на плоскости группы симметрий правильного треугольника (см. рис. 6). Центр треугольника примем за полюс, луч ОМ — за полярную ось. Ясно, что r является инвариантом действия группы Д. Однако этот инвариант не является различающим. Функция также является инвариантом. Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что выражение не изменяется при действии образующих элементов группы. Группа порождена одним отражением от оси а и одним поворотом на 120°. При отражении изменяетсяна , а при повороте— на + 120°. Поэтому и в том и в другом случаях выражение не изменяется. Пара чисел (r,) может служить различающим инвариантом. Действительно, система уравнений



при с > 0 и может иметь 3 или 6 решений, соответствующих точкам одной орбиты.

Вероятно, каждый из наших читателей держал в руках замечательную игрушку — кубик Рубика. Этот кубик является хорошим наглядным пособием по изучению групп и их действий. Как известно, игрушка состоит из шести неподвижных центральных кубиков и двадцати подвижных (восьми угловых с тремя раскрашенными гранями и двенадцати средних с двумя раскрашенными гранями). Всего существует способов расстановки разноцветных кубиков по местам. Это число получено следующим образом: 12! — за счет произвольных перестановок средних кубиков, — за счет их разворотов на месте, 8! и — за счет тех же преобразований восьми угловых кубиков. На множестве всех состояний кубика действует группа Г всевозможных перестановок, которые можно осуществить согласно правилам игры (путем последовательного выполнения любого числа поворотов граней). Эта группа порождена шестью элементами: поворотами на 90° вокруг центров каждой из шести граней.

Уже из того наблюдения, что игра имеет групповую природу, можно сделать интересные выводы. Отправляясь от некоторого состояния и повторяя действия в одной и той же последовательности, мы всегда рано или поздно вернемся к исходному состоянию. Действительно, так как группа Г конечна, то, выписывая одну за другой степени элемента Г, мы в конце концов обнаружим совпадающие, например. Поэтому



.

Второе наблюдение состоит в том, что при сборке кубика часто используются сопряжения, т. е. операции вида. Выше уже говорилось, что такая операция — это та же операция b, но «в другой системе отсчета».

Состояние кубика, при котором все грани одноцветные, считается начальным. Цель игры состоит в том, чтобы перейти от заданного состояния к начальному. Заметим, что не из всякого состояния можно перейти к начальному (например, если после механической разборки игрушки один из угловых кубиков повернуть на 120). Ясно, что все состояния куба, которые можно получить из данного, образуют орбиту рассматриваемого действия. Перейти от данного состояния к начальному можно лишь в том случае, когда оба состояния находятся в одной орбите.

Имеется еще один инвариант («четность» расстановки всех кубиков), который вместе с двумя описанными составляет различающий инвариант действия группы Г. Все состояния куба (в том числе и полученные при механической его разборке и сборке) распадаются на 12 орбит.






    1. Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   19


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница