В методе анализа иерархий



Скачать 88.25 Kb.
Дата28.04.2016
Размер88.25 Kb.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ И АНАЛИЗ ЭФФЕКТА RANK REVERSAL

В МЕТОДЕ АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

ON ORIGINS AND ANALYSIS OF RANK REVERSALS IN ANALYTIC HIERARCHY PROCESS
Лебедюк Э.А.

студент, Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, Картвелишвили В.М.

Аннотация: Исследован эффект rank reversal в методе анализа иерархий. Введено понятие среднего индекса согласованности обратно-симметричной матрицы и вычислено точное значение индекса. Полученные данные позволяют лучше понять эффект rank reversal.

Annotation: This paper contains research on origins and analysis of rank reversals in analytic hierarchy process. Introduced new concept of an average index of reciprocal matrix, performed it exact calculation.

Ключевые слова: метод анализа иерархий, обратно-симметрическая матрица,

Key words: analytic hierarchy process, reciprocal matrix, rank reversal, Mathcad.

Введение

Метод Анализа Иерархий (МАИ) [1] — математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. Для проведения анализа МАИ используется математическая теория обратно-симметричных матриц и девятибалльная шкала сравнений. Основой метода является проведение парных сравнений, для ранжирования альтернатив согласно шкалам оценки.

Это один из наиболее известных инструментов подобного рода. Уже на протяжении более 20 лет публикуются работы, научные статьи и исследования, описывающие и развивающие данный метод [1,2]. Одним из ключевых вопросов, связанных с методом анализа иерархий является эффект rank reversal, возникающий при практическом применении метода. Исследование эффекта является основной темой данной работы. В рамках данной работы исследованы такие вопросы, как причины и масштабы возникновения данного явления, его структуру и вероятность появления. Эта тема является актуальной, поскольку важна для дальнейшего развития и обоснования метода анализа иерархий.

Для проведения данного исследования были написаны компьютерные программы, в системе компьютерной алгебры Mathcad и в интегрированной среде разработки Embarcadero Delphi, на языке Delphi.



Метод анализа иерархий

Позволяет принимать решения о выборе оптимальной альтернативы из множества доступных, ранжируя их по одному или множеству критериев. Напомним методику проведения анализа с помощью метода анализа иерархий. Сначала происходит построение иерархической структуры, объединяющей цель, критерии, альтернативы (в дальнейшем – элементы) и другие факторы, влияющие на выбор решения. Затем происходит ранжирование всех элементов по каждому из критериев. Затем по установленным формулам проводится расчёт весов элементов и на основании полученных результатов происходит принятие решения.

Рассмотрим подробнее этап ранжирования всех элементов по выбранному критерию. Для проведения подобного сравнения используется математическая теория обратно-симметричных матриц и девятибалльная шкала сравнений. Основой метода является проведение парных сравнений, для ранжирования альтернатив согласно разработанным шкалам оценки.

Важной особенностью метода является обратная симметричность оценок. Если превосходство элемента 1 над элементом 2 выражается оценкой 7 (Очень сильная значимость), то превосходство элемента 2 над элементом 1 будет выражаться оценкой 1/7. Это значительно (в два раза) сокращает работу эксперта по проведению оценок и позволяет использовать теорию обратно-симметричных матриц. Таким образом, в общем виде матрица X парных сравнений для трёх элементов будет выглядеть следующим образом (см. рис. 1.). После получения всех оценок, следующий шаг состоит в вычислении вектора приоритетов получившейся матрицы. В математических терминах это – вычисление главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов [2].



Рисунок 1. Общий вид матрицы парных сравнений трёх элементов.

Обратим внимание на показатель δ – индекс согласованности, который вычисляется с помощью главного собственного значения матрицы λmax по формуле , где n – порядок квадратной матрицы. Индекс согласованности показывает степень согласованности оценок эксперта, и, в идеальном случае равен нулю. Однако, для проверки согласованности оценок как правило используют показатель σ - отношение согласованности, вычисляющийся по формуле , где φ - средний случайный индекс для матрицы того же порядка.

Случайным индексом называется средний индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 выборки обратно-симметричных матриц с соответствующими обратными величинами. В таблице 1 представлены случайные индексы, используемые в настоящее время для обратно-симметричных матриц порядка 1-4.

Таблица 1. Случайные индексы обратно-симметричных матриц порядка 1-4.


Порядок матрицы

1

2

3

4

Случайный индекс

0

0

0,58

0,9

Вычисление данных случайных индексов было проведено в школе Уортона для величины случайной выборки 500 [1].

Заметим, что число вариантов значений оценки по шкале Т. Саати ограничено и равно 17 (1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Таким образом, общее количество обратно-симметричных матриц парных значений является конечным и вычисляется по формуле: Количество Матриц = , где n - порядок матрицы. В табл. 2 представлено количество обратно-симметричных матриц порядка 1-4.



Таблица 2. Количество обратно-симметричных матриц порядка 1-4. Рассчитано автором работы.

Порядок матрицы

1

2

3

4

Количество матриц

1

17

4913

24137569

Матрицы порядка 1 и 2 не представляют интереса, т.к. в обоих случаях, очевидно, что случайный индекс равен нулю. В случае единственной обратно-симметричной матрицы порядка 1 единственный элемент сравнивается сам с собой - с оценкой 1. В случае обратно-симметричной матрицы порядка 2 происходит единственное сравнение двух элементов, и результирующая оценка, и соответственно матрица будет согласованна, так как в данной матрице не существует оценки, с которой она может быть не согласована, из-за обратной симметричности оценок.

Однако значения случайного индекса можно уточнить для матриц более высокого порядка путем вычисления случайного индекса не как среднего индекса согласованности выборки матриц, а как среднего индекса согласованности всех матриц данного порядка. Так что возможно более корректно будет называть данный индекс не случайным индексом, а средним индексом. Вычисление точного значения такого индекса было осуществлено в данной работе для обратно-симметричных матриц порядка 3 и 4 в системе компьютерной алгебры Mathcad.

Таким образом, можно говорить о новых, уточнённых значениях случайного индекса для матриц порядка 3,4 – средних индексах. Они представлены в табл. 4. Из таблицы видно, что все значения среднего индекса, при расчёте данным методом оказались меньше используемых в настоящее время значений случайного индекса. Наиболее существенным (более 10%) является изменение уточнённого случайного индекса для обратно-симметричных матриц порядка 3.

Таблица 3. Уточнённые значения случайного (среднего) индекса обратно-симметричных матриц порядка 3,4. Рассчитано автором работы.


Порядок матрицы

3

4

φ

0,524

0,884



0,056

0,016

∆, %

10,69%

1,81%

Rank reversal

Ситуация, возникающая при моделировании задач принятия решений различными методами, в частности – при использовании метода анализа иерархий. Он заключается в том, что при изменении количества оцениваемых элементов их ранжирование относительно друг друга может меняться [3-5]. Как часто наблюдается данное явление?

Постоянно. Для исследования выберем вариант изменения количества сравниваемых элементов с 3 до 4. Как уже было сказано выше существует 4913 различных обратно-симметричных матриц парных сравнений трёх элементов, описывающих все возможные варианты их оценки. В случае добавления четвёртого элемента, для каждой из этих матриц существует 4913 вариантов сравнения четвёртого элемента с тремя существующими. Проведём расчёт количества вариантов оценки четвёртого элемента, приводящего к rank reversal, к общему количеству вариантов сравнения, для всех обратно-симметричных матриц порядка 3. В интегрированной среде разработки Embarcadero Delphi, на языке Delphi была составлена программа, реализующая данную задачу. Результаты её работы представлены на рис. 2, показывающим распределение rank reversal как для всех матриц 3го порядка, так и только для тех, которые удовлетворяют условию: σ<0,1. Из анализа полученных данных следует:


  • Rank reversal происходит в 0-80,28% случаев при добавлении нового элемента, в случае только согласованных матриц – в 11,76-80,28% случаев

  • В среднем, rank reversal происходит в 36,26% случаев при добавлении нового элемента, в случае только согласованных матриц – в 31,81% случаев

  • Чем более выражен приоритет одного элемента над другим, и другого над оставшимся, тем меньше процент rank reversal

Рисунок 2. График распределения Rank reversal при изменении количества сравниваемых элементов с 3 до 4.

Рассмотрим подробнее сделанный ранее вывод о том, что чем более выражен приоритет одного элемента над другим, и другого над оставшимся тем меньше процент rank reversal. Является ли этот критерий единственным/определяющим?

Для решения этого вопроса введём понятие коэффициента ранжирования обратно-симметричной матрицы - χ, как разницу весов между элементами с максимальным и минимальным весом. Обозначим элемент с максимальным весом – max, наименьшим – min. Тогда χ=(max-min). Построим график, на котором отобразим все обратно-симметричные матрицы порядка 3. По оси x – значение параметра χ данной матрицы, по оси y - процент возникновения rank reversal при изменении количества сравниваемых элементов с 3 до 4. Результат представлен на рис. 3.

Из данного графика можно подтвердить выдвинутое выше предположение о существовании обратной связи коэффициента ранжирования и частоте возникновения эффекта rank reversal.

Рисунок 3. График распределения Rank reversal при изменении количества сравниваемых элементов с 3 до 4 и χ.

Заключение

При написании данной работы, было исследовано большое число современных авторитетных источников по теме метода анализа иерархий и эффекта rank reversal. Для приведения как многочисленных примеров, встречающихся в данной работе, так и для вычисления точных значений представленных параметров был проведен значительный объём ресурсоёмких вычислений, по результатам можно сделать следующие выводы:

• Введен средний индекс согласованности – суть более точный вариант использующегося в настоящее время случайного индекса, что показало вычисление его точного значения для обратно-симметричных матриц парных сравнений порядка 3 и 4;

• При изменении числа сравниваемых вариантов всегда есть вероятность возникновения эффекта rank reversal;

• Увеличение степени согласованности матрицы (изменение оценок матрицы, для приведения параметров σ, δ к нулю) не приводит к уменьшению частоты возникновения эффекта rank reversal;

• Введен коэффициент ранжирования, демонстрирующий обратную связь с частотой возникновения эффекта rank reversal.

Литература.

1. Saaty T.L. The analytic hierarchy process. — N.-Y.: McGraw Hill, 1980.

2. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1993. — 23 с.

3. Maleki H., Zahir S. A Comprehensive Literature Review of the Rank Reversal Phenomenon in the Analytic Hierarchy Process // Journal of Multi-Criteria Decision Analysis. — 2012.



4. Belton V, Gear T. On a short-coming of Saaty’s method of analytic hierarchies // Omega. — 1983. — Vol. 11. — P. 228–230.

5. Millet I, Saaty T. On the relativity of relative measures - accommodating both rank preservation and rank reversals in the AHP // European Journal of Operational Research. — 2000. – Vol. 121. — Issue 1. – P. 205-212.
Каталог: projects -> mknrsa -> skireports -> %D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD.%20%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0
projects -> Технология рефлексии в педагогике
skireports -> Problems of formation financial culture of the russian population (social studies) Данилова О. В., Иванова А. Г
skireports -> Облемные вопросы использования криминалистической тактики и методики при допросе в конфликтной ситуации
skireports -> Причины молодежной наркомании и ее профилактика в алтайском крае causes of youth drug addiction and its prevention on the territory of altai-region
skireports -> Формирование культуры управления рисками creating a risk management culture
%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD.%20%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0 -> Лизация выбора системы показателей для диагностики и прогнозирования банкротств на основе байесовской методологии
skireports -> Проблемы внедрения базеля: международный опыт


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница