Системы счисления



страница1/3
Дата23.01.2021
Размер66,5 Kb.
  1   2   3

Системы счисления

1.1. Позиционные системы счисления

Информация в ЭВМ кодируется, как правило, в двоичной системе счисления. Система счисления – это способ представления любого числа с помощью символов, имеющих определенные количественные значения и называемых цифрами. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Примером такой системы является римская система счисления.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от её места (позиции) в числе. Количество s различных цифр, употребляемых в позицион­ной системе, называется ее основанием. Эти цифры обозначают s целых чисел, обычно 0, 1, ..., (s-1). В десятичной системе ис­пользуются десять цифр: 0, 1,2, 3,4,5,6,7,8,9; эта система имеет основанием число десять.

В общем случае в позиционной системе с основанием s лю­бое число х может быть представлено в виде полинома от ос­нования s:

х=rsr + r-1 s r-1 +….+ 1s1 + 0s0 +-1s-1 + -2s-2 + … (2.1)

где в качестве коэффициентовi могут стоять любые из s цифр, используемых в системе счисления.

Принято представлять числа в виде соответствующей (2.1) последовательности цифр:

x=.rr-1 …. 10,-1-2

В этой последовательности запятая отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Запятая опускается, если нет отрицательных степе­ней. Позиции цифр, отсчитываемые от запятой, называют разря­дами. В позиционной системе счисления значение каждого раз­ряда больше значения соседнего справа разряда в число раз, равное основанию s системы.

В ЭВМ применяют позиционные системы счисления с неде­сятичным основанием: двоичную, шестнадцатиричную, восьме­ричную и др. В дальнейшем для обозначения используемой системы счисления число будет заключено в скобки и в индексе указано основание системы счисления.

Наибольшее распространение в ЭВМ имеет двоичная система счисления. В этой системе используются только две («двоичные») цифры: 0 и 1.

В двоичной системе любое число может быть представлено после­довательностью двоичных цифр

x = mm-1… 10, -1-2…, где i, либо 0, либо 1.

Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с ука­занными в ней коэффициентами:

x = m 2m + m-1 2 m-1 + … + 1 21 + 0 20 + -1 2-1 +  -2 2-2+... (2.2)

Например, двоичное число

(10101101, 101)2 = 1 27 + 0 26 + 1 25 + 0 24 + 1 23 + 1 22 + 0 21 + 1 20 + 1 2-1 + 0 2-2 + 1 2-3

как следует из приведенного разложения его по степеням числа 2, со­ответствует десятичному числу

(173, 625)10.

Двоичное изображение числа требует большего (для многоразряд­ного числа примерно в 3,3 раза) числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее применение двоичной системы создает большие удобства для проектирования ЭВМ, так как для представле­ния в машине разряда двоичного числа может быть использован лю­бой простой элемент, имеющий всего два устойчивых состояния. Другим важным достоинством двоичной системы является простота двоичной арифметики.

В восьмеричной системе, употребляется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Любое число в восьмеричной системе представляется последова­тельностью цифр

x = qq-1 … 10, -1-2 …,

в которой i могут принимать значения от 0 до 7.

Например, восьмеричное число

(703, 04)8= 7 82+0 81+3 80+0 8-1+4 8-2 = (451, 0625)10.

В шестнадцатиричной системе для изображения чисел употре­бляется 16 цифр: от 0 до 15. При этом, чтобы одну цифру не изобра­жать двумя знаками, введены специальные обозначения для цифр, больших девяти. Первые десять цифр этой си­стемы обозначаютсяцифрами от 0 до 9, а старшие пять цифр — латинскими буквами: десять — А, одиннадцать — В, двенадцать — С, тринадцать — D, четырнадцать — Е, пятнадцать — F. Например, шестнадцатиричное число

(В2Е, 4)16 = 11162+2161+14160+416-1 = (2862, 25)10.

Для перевода восьмеричного (шестнадцатиричного) числа в двоич­ную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответ­ствующим трехразрядным (четырехразрядным) двоичным числом, при этом отбрасывают ненужные нули, например



8 = (11000101, 1)2.

16 = (11110110010, 111)2.

Для перехода от двоичной к восьмеричной (или шестнадцатирич­ной) системе поступают следующим образом: двигаясь от запятой влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и пра­вую группы. Затем каждую группу из трех (четырех) разрядов заме­няют соответствующей восьмеричной (шестнадцатиричной) цифрой.

Приведем примеры:

а) перевод двоичного числа 1101111001, 1101 в восьмеричное:



= (1571, 64)8;

б) перевод двоичного числа 11111111011, 100111 в шестнадцатиричное:



= (7FB, 9C)16

В настоящее время в большинстве ЭВМ используются двоичная система и двоичный алфавит для представления и хранения чисел, команд и другой информации, а также при выполнении арифметических и логических операций.

Шестандатиричная (и восьмеричная) система применяется в текстах программ для более короткой и удобной записи двоичных кодов команд, адресов и операндов. Кроме того, эти системы применяются в ЭВМ при некоторых формах представления чисел .



Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница