Решение задач с помощью теории сравнений. Соловьёв Илья,



Скачать 109.34 Kb.
Дата28.04.2016
Размер109.34 Kb.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Лицей №180

Ленинского района г.Н.Новгорода

Научное общество учащихся

Решение задач с помощью

теории сравнений.

Выполнил: Соловьёв Илья,

ученик 7«В» класса

Научный руководитель:

Калинина Е.А.,

Учитель алгебры, геометрии

Н.Новгород 2014

Содержание.

Стр.


Введение ... ……………………………………………….…………………… 3

ГЛАВА 1. Основное понятие «Теория сравнений» ……………………… 5

1.0.1. Определение ………………………………………… 5

1.0.2. Обозначение ………….……………………………... 5

1.0.3. Примеры ……….……………………………………. 5

1.1. Свойства сравнений ………………………..………………….. 6

1.2. Леммы ……………………………………….…………………. 7

1.3. Свойства сравнений, связанные с делением ….……………... 7

ГЛАВА 2. Задачи на тему «Теория сравнений»………………………….... 8

2.1. Задача №1 ………………………………………..……………... 8

2.2. Задача №2 ………………………………………..……………... 8

2.3. Задача №3 ……………………………………....…………….... 9

2.4. Задача №4 ……………………………………………………… 9

2.5. Задача №5 ……………………………………………………… 10

2.6. Задача №6 ……………………………………………………… 11

2.7. Задача №7 ……………………………………………………… 12

Заключение ..………………………………………………………………..… 13

Источники ..…………………………………………………………………... 14



Введение

Меня заинтересовала тема «Решение задач с помощью теории сравнений», потому что теория сравнений применяется в школьном курсе по алгебре, и способ решения задач с помощью сравнений намного короче и удобней, чем обычное решение.

Методы теории сравнений широко применяются в различных областях науки, техники, экономики.

В астрономии теория сравнений применяется в устройстве телескопа. Чтобы картинка отражалась без искажений, при создании телескопа ученые делают расчёты с помощью теории сравнений.



http://rulitka.ru/image/50376_16_1.png

Также в технических механизмах применяется теория сравнений. В устройстве токарных станков при расчёте диаметров шестерёнок, при налаживании скоростей, для создания многих других деталей и систем станка применяется теория сравнений.



http://www.belctanko.ru/data/metall/wm180v.jpg

Даже в обыкновенных очках применяется теория сравнений. Чтобы изображение было равномерным, расстояние в некоторых местах должно быть одинаковым и, чтобы его выровнять используют теорию сравнений.



c:\users\инна\desktop\11_nwo_ochki.jpg

При строительстве зданий широко используются башенные краны, но и в системе башенных кранов надо точно всё рассчитать и при расчете всех движений крана используется теория сравнений. http://vitatrans.fis.ru/popup_imgs/10475898.jpg http://www.promspravka.com/netcat_files/963_3156.gif

Я выбрал тему «Теория сравнений», потому что теория сравнений широко применяется в различных технологиях и вещах и также решение с помощью теории сравнений является короче, чем обычное решение.

Раздел алгебры «Теория сравнений» занимает важное место в образовании математиков, физиков и других специалистов. Я хочу изучить основу теоретического материала и рассмотреть задачи.

В моей работе раскрываются основные понятия теории сравнений и свойства сравнений. Также приводятся примеры решения задач, которые решаются с помощью сравнений.

Изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров.



ГЛАВА 1.

1.Основное понятие «Теория сравнений»

Понятие теория сравнений было введено впервые Карлом Гауссом. Несмотря на свою кажущуюся простоту, это понятие очень важно и имеет много приложений.



c:\users\инна\desktop\johann-carl-friedrich-gauss.jpg

Определение: два целых числа a и b называются сравнимыми по модулю натурального числа n тогда и только тогда, когда (a-b) нацело делится на n, т.е. a и b имеют одинаковые остатки при делении на n.

Обозначение: a ≡ b(mod n).

Таким образом, сравнение представляет собой соотношение между тремя числами. a и b называются левой и правой частями сравнения.



Примеры:

1≡3(mod 2)

9≡0(mod 3)

-12≡3(mod 5)

13≢−5 (mod 4)

1.1. Свойства сравнений

Для любых целых a, b и c, и натурального n

1) (рефлексивность) a ≡ a(mod n);

12≡12(mod 3)

1.5≡ (mod 20)

2) (симметричность) если a ≡ b(mod n), то b ≡ a(mod n);

5≡17(mod 4) 17≡5(mod 4)

30≡23(mod 7) 23≡30(mod 7)

3) (транзитивность) если a ≡ b(mod n) и b ≡ c(mod n), то a ≡ c(mod n);

5≡16(mod 4), 16≡9(mod 4) значит 5≡9(mod 4)

2≡34(mod 8), 34≡26(mod 8) значит 2≡26(mod 8)



Если a ≡ b(mod n) и c ≡ d(mod n), то:

1≡3(mod 2), 7≡5(mod 2)

4) (сложение) a+c ≡ b+d(mod n);

1+7≡5+3(mod 2), 8≡8(mod 2)

5) (вычитание) a–c ≡ b–d(mod n);

1-7≡5-3(mod 2), -6≡2(mod 2)

в частности, a+k ≡ b+k(mod n), где k – целое число.

6) (умножение) ac ≡ bd(mod n);

1*5≡7*3(mod 2), 5≡21(mod 2)

(mod 2) 1≡243(mod 2)

в частности, ka ≡ kb (mod n), где k – целое число.

7) (возведение в степень) (mod n), где m – натуральное число

(mod 2) 1≡243(mod 2)

1.2. Леммы

При различных целых a и b, и натуральном m



  1. (am – bm)( a – b)

При целых a и b, в сумме не дающих 0, и натуральном нечётном m

  1. (am + bm)( a + b)

1.3. Свойства сравнений, связанные с делением

1) , если a, b и n делятся на натуральное число k;



9≡3(mod 2)

2) , если a и b делятся на целое число k, взаимно простое с n;



10≡2(mod 8)

3) , если n делится на натуральное число k.



18≡6(mod 2)

ГЛАВА 2.

2. Задачи на тему «Теория сравнений»

Задача №1

Число a при делении на 8 даёт в остатке 3, а число b при делении на 8 даёт в остатке 5. Какой остаток получится при делении числа ab на 4?



Решение.

a≡3(mod 8) b≡5(mod 8)

ab≡3x5≡15(mod 8) – свойство сравнений

Так как ab≡15(mod 8),то и ab≡15(mod 4)

ab≡15≡3(mod 4)

Значит ab при деление на 4 даёт остаток 3(по определению)

Ответ: ab при деление на 4 даёт остаток 3.

Задача №2

Числа a, b, c – натуральные. a+b+c делится на 6. Доказать, что ++ делится на 6.



Решение.

a + b + c ≡ 0(mod 6) так как делится без остатка на 6



++ ≡ a+b+c(mod 6) – свойство сравнений (возведение в степень)

++ ≡ 0(mod 6)

Задача №3

Найдите остаток от деления числа на 13.



Решение.

≡ ? (mod 13)

(mod 13) так как 2015 нацело делится на 13

(mod 13) так как любое отрицательно число в четной степени будет положительное.

≡ 1 (mod 13)

Тоесть число при делении на 13 дает остаток 1.



Задача №4

Найдите остаток от деления числа на 11.



≡ ? (mod 11)

Решение.

(mod 11) так как 2013 без остатка делится на 11.

≡ 1 (mod 11) так как 1 в любой степени равно 1.

Тоесть число при делении на 11 дает остаток 1.



Задача №5

Доказать что при любом натуральном n число + делится на 133.



Решение.

Мы имеем = 12 * = 12 *

Но 144 ≡ 11 (mod 133)

Значит по свойству сравнений (возведение в степень)

Умножая на 12, получаем 12 * ≡ 12 * по свойству сравнений (умножение)

Так что ≡ 12 * (mod 133)

Далее ≡ 121* (mod 133)

А так 121 ≡ -12 (mod 133) , то 121 * ≡ -12 * (mod 133)

Тоесть ≡ -12 *

Складывая сравнения



≡ 12 * (mod 133) по свойству сравнений (сложение)

≡ -12 * (mod 133) по свойству сравнений (сложение)

Получаем + ≡ 0 (mod 133)

Значит число + делится на 133.

Задача №6

Доказать, что если + + делится на 9, то хотябы одно из чисел , , делится на 9.



Решение.

Мы имеем


Если n ≡ 0 (mod 9), то ≡ 0 (mod 9)

Если n ≡ 1 (mod 9), то ≡ 1 (mod 9)

Если n ≡ 2 (mod 9), то ≡ 4 (mod 9)

Если n ≡ 3 (mod 9), то ≡ 9 ≡ 0 (mod 9)

Если n ≡ 4 (mod 9), то ≡ 16 ≡ 7 (mod 9)

Если n ≡ 5 (mod 9), то ≡ 25 ≡ 7 (mod 9)

Если n ≡ 6 (mod 9), то ≡ 36 ≡ 0 (mod 9)

Если n ≡ 7 (mod 9), то ≡ 39 ≡ 4 (mod 9)

Если n ≡ 8 (mod 9), то ≡ 64 ≡ 1 (mod 9)

Итак, каково бы ни было целое число n, число может иметь при делении на 9 только остатки 0, 1, 4, 7.

Обозначим через r1, r2, r3 остатки, которые дают при делении на 9 числа , так что

≡ r1 ( mod 9), ≡ r2 (mod 9), ≡ r3 (mod 9).

Складывая эти сравнения, получаем:

+ + ≡ r1 + r2 + r3 (mod 9).

А так как по условию + + делится на 9, то есть + + ≡ 0 (mod 9), то r1 + r2 + r3 ≡ 0 (mod 9). Но каждое из чисел r1, r2, r3 может принимать лишь значения 0, 1, 4, 7. Легко видеть поэтому, что сумма r1 + r2 + r3 может делиться на 9 лишь в следующих случаях:



  1. r1 = r2 = r3 = 0;

  2. одно из чисел r1, r2, r3 равно 1, а два других равны 4;

  3. одно из чисел r1, r2, r3 равно 7, два других равны 1;

  4. одно из чисел r1, r2, r3 равно 4, два других 7.

Во всех случаях среди чисел r1, r2, r3 найдутся два одинаковых, то есть какие-нибудь два из чисел имеют одинаковые остатки при делении на 9. Значит, хотя бы одна из разностей , , делится на 9.

Задача №7

Доказать, что +2n делится на 3 при любом натуральном n.

Решение: Переберем все возможные остатки n от деления на 3 (перебор всех остатков действительно является полным решением!). Составим таблицу, в первом столбце которой поместим остатки по модулю 3


N



2n

+2n

0

0

0

0

1

1

2

0

2

2

1

0

В последнем столбце стоят одни нули, значит, при любом n (поскольку любое n дает от деления на 3 остаток 0, 1 или 2) +2n делится на 3 что и требовалось доказать.

Заключение

Я рассмотрел основу теории сравнений и сделал много выводов. Мы убедились что решение задач с помощью теории сравнений, в некоторых случаях, намного проще и короче чем обычное решение. В решении задач с помощью теории сравнений широко используются свойства сравнений и леммы.

В данной работе достаточно полно изложены основные моменты теории, они иллюстрируются примерами, которые позволяют глубже понять рассматриваемые вопросы.

Так как я рассмотрел только основу теории сравнений, я хочу продолжить моё изучение теории сравнений в следующей работе и изучить её наиболее глубже. В следующей работе я собираюсь рассмотреть такие темы, как: «Классы вычетов», «Системы вычетов», «Сравнения первой степени», «Сравнения второй степени», «Системы сравнений» и другие. Узнав глубже теорию сравнений, я смогу решать более сложные задачи и доказывать теоремы.

Приведенный список литературы позволяет рассмотреть наиболее интересующие или сложные моменты теории сравнений и их приложений.

Итак, мы можем отблагодарить Карла Гаусса, создателя теории сравнений, за то, что он открыл целый раздел чисел и ещё один вариант решения задач и множество теорем на тему теория сравнений. Несмотря на то, что теории сравнений уже около 200 лет, она известна сейчас и широко применяется во многих технологиях и вещах.



Источники

Литература:

  1. Вейль А. «Основы теории чисел»

  2. Виноградов И. М. «Основы теории чисел»

  3. Виленкин Н. Я. «Сравнения и классы вычетов»

  4. Журнал «Квант» — 1978г. — № 10. — Стр. 4—8

  5. Вахитова Е.В. «Теория сравнений и ее приложения»

Сайты:

  1. https://www.hse.ru/data/2011/09/29/1270027522/Сравнения-диофантовыУравнения

  2. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D1%F0%E0%E2%ED%E5%ED%E8%E5_%EF%EE_%EC%EE%E4%F3%EB%FE



База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница