Решение. Исходное уравнение эквивалентно уравнению, где и. Получаем уравнение Ответ ответ к задаче №2



Скачать 38.26 Kb.
Дата27.04.2016
Размер38.26 Kb.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

И НАУКИ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ


Государственное бюджетное образовательное учреждение

дополнительного образования детей

«ЦЕНТР ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ДЕТЕЙ»
350000 г. Краснодар,

ул. Красная, 76

тел. 259-84-01

E-mail: cdodd@mail.ru







Всероссийская олимпиада школьников

по математике
2014-2015 учебный год
Муниципальный этап
11 класс, ответы

Председатель предметно-методической комиссии: Бирюк А.Э., д.ф.-м.н., доцент



ОТВЕТ к задаче № 1

Решите уравнение



Решение. Исходное уравнение эквивалентно уравнению

, где и . Получаем уравнение

Ответ. .
ОТВЕТ к задаче № 2

Можно ли выбрать 10 различных натуральных чисел так, чтобы каждое из них делило нацело сумму остальных? Обоснуйте свой ответ.



Решение: да, например, 1, 2, 3, 6, 12 и т.д. Каждое следующее число равняется сумме всех предыдущих.
ОТВЕТ к задаче № 3

Докажите, что если целые числа a, b, c таковы, что , то их произведение abc кратно 60. Обоснуйте свой ответ.



Решение. 60 = 3·5·4. Если ни одно из чисел a, b и c не делится на 3, то числа , и дают остаток 1 при делении на 3, но

Если ни одно из чисел a, b и c не делится на 5, то числа , и при делении на 5 имеют остаток 1 или 4; но ни 1 + 1, ни 1 + 4, ни 4 + 4 не сравнимо ни с 1, ни с 4 по модулю 5.

Наконец, докажем делимость произведения abc на 4. Случай, когда числа a и b оба чётные, очевиден. Если числа a и b оба нечётны, то и, следовательно, , что невозможно: квадрат целого числа не может давать при делении на 4 остаток 2. Осталось рассмотреть случай, когда числа a и b разной чётности. Для определённости, пусть a нечётно, а b чётно. Поскольку квадрат любого нечётного числа сравним с 1 по модулю 8, то , откуда , что и требовалось доказать.

ОТВЕТ к задаче № 4

В пространстве заданы две точки А и B, расстояние между которыми равно 2014. Множество M состоит из всех таких точек X, для которых скалярное произведение векторов и равно 2015. Найдите наибольшее расстояние между точками заданного множества M.



Решение. Введём систему координат, так что точка A имеет координаты (-1007,0,0), а точка B имеет координаты (1007,0,0). Пусть точка X множества M имеет координаты (x,y,z). Тогда вектор имеет координаты , а вектор имеет координаты . Запишем условие :



замечая, что , находим, что множество M — это сфера радиуса 1008. Следовательно, наибольшее расстояние — это диаметр, равный 2016.



Ответ: 2016.

Замечание. Возможен двумерный вариант этого решения. Зафиксируем произвольную точку X множества M. Докажем, что OX=1008, где O — середина отрезка AB. Для этого проведем плоскость через точки A, B и X и, например, проведем шаги приведенного выше решения, но в двумерном случае.

Замечание. Если замечено, что на прямой AB есть две точки множества М, между которыми расстояние равно 2016 (т.е. показано, что ответ ≥ 2016): 1 балл.
ОТВЕТ к задаче № 5

Набор чисел: 1, 2, 3, ..., 2014 разрешается записать в строчку (слева направо) в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число m, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел m + 1 или m – 1. Сколькими способами это можно сделать? Обоснуйте свой ответ.



Решение. Пусть на первом месте стоит число k. Заметим, что если k > 1, то числа k – 1, k – 2, ..., 1 стоят в нашей перестановке в порядке убывания (если двигаться слева направо). Действительно, по условию левее числа 1 должно стоять 2, левее 2: 1 или 3, то есть 3, левее 3: 2 или 4, то есть 4 и т. д. Аналогично, при k < 2014 числа k + 1, k + 2, ..., 2014 стоят в порядке возрастания, так как левее 2014 должно быть 2013, левее 2013 – число 2012 и т. д. Следовательно, любая из рассматриваемых перестановок однозначно задаётся набором мест, занимаемых числами 1, 2, ..., k – 1 (таких мест может вообще не быть, если k = 1, то есть для перестановки 1, 2, ..., 2014). Количество этих наборов равно количеству подмножеств множества из 2013 элементов – всех мест, кроме первого, то есть 22013. По числу элементов подмножества однозначно определяется число k, стоящее на первом месте.

Ответ: 22013


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница