Решение дифференциальных уравнений

где x – переменная (параметр состояния); u – параметры управления; t – время.

Решение дифференциальных уравнений в реальном масштабе времени предполагает расчет правых частей уравнения вида (1) и выполнение операции интегрирования.

В аналоговых вычислительных устройствах алгебраические операции по вычислению правой части выполняются, как правило, с помощью потенциометрических счетно-решающих схем, суммирующих и инвертирующих операционных усилителей, а для выполнения интегрирования применяются следующие устройства:

- интегрирующие двигатели постоянного и переменного тока;

- электромеханические интеграторы или интегрирующие электроприводы;

- интегрирующие операционные усилители.

Электрические двигатели с возбуждением от постоянных магнитов или с независимым возбуждением являются наиболее простыми в реализации интеграторами. Если к якорю электродвигателя постоянного тока с возбуждением от постоянных магнитов приложено напряжение U_вх, то угловая скорость вращения вала двигателя будет пропорциональна величине напряжения:

Угол поворота выходного вала представляет собой интеграл от угловой скорости и определяется из уравнения (2):

Величина коэффициента k_φ у интегрирующего двигателя может изменяться под влиянием изменения нагрузки на выходном валу, трения в подшипниках, влияния реакции якоря, что приводит к появлению погрешностей интегрирования.

Для электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением справедливо следующее уравнение для входного напряжения:

, (4)

где Е – противоэлектродвижущая сила; I – ток якоря; R – сопротивление якоря электродвигателя.

Противоэлектродвижущая сила пропорциональна угловой скорости вращения якоря электродвигателя ω_я и магнитному потоку Ф

Е = Сω_яФ. (5)

Угловая скорость вращения якоря электродвигателя определяется соотношением

так как падение напряжения в цепи якоря обычно невелико ввиду малости сопротивления R. Тогда угол поворота выходного вала определится интегралом

Формулы (3) и (7), определяющие угол поворота выходного вала двигателя с возбуждением от постоянных магнитов и с независимым возбуждением, составлены без учета инерции вращающихся частей двигателя. Работа электродвигателя с учетом инерции его вращающихся частей описывается дифференциальным уравнением

где Т_д – электромеханическая постоянная времени двигателя; k_φ – коэффициент пропорциональности.

Постоянная времени Т_д зависит от момента инерции якоря электродвигателя, сопротивления обмотки якоря и трения в подшипниках. Обычно Т_д = 0,01 … 0,03 с.

Произвести точное интегрирование с помощью электродвигателя невозможно. Это объясняется тем, что коэффициент k_φ изменяется в зависимости от реакции якоря и нагрузки на вал двигателя. Для выполнения интегрирования с более высокой точностью применяются электромеханические интегрирующие приводы. Их точность практически не изменяется с увеличением нагрузки на валу.

В состав интегрирующего электропривода (рис.1) входят усилитель, интегрирующий электродвигатель, тахогенератор.

Рис.1. Схема интегрирующего электропривода

С выходным валом электродвигателя соединен подвижный элемент датчика сигналов (движок потенциометра или ротор сельсина). Входное напряжение пропорционально интегрируемой величине и подается обычно с потенциометрической счетно-решающей схемы. Оно сравнивается с напряжением тахогенератора и результат сравнения в виде разности напряжений подается на вход усилителя:

. (9)

Выходное напряжение усилителя определяется выражением