Прямая на плоскости и в пространстве

высшего профессионального образования

«Сибирский институт бизнеса и информационных технологий»

Зачетная работа

(1 семестр)


Дисциплина: Высшая математика

_{(название дисциплины)}

Реферат

_{(вид работы)}
Тема: Прямая на плоскости и в пространстве

_{(Название темы)}


Выполнил(а):

Цуканова Кристина Николаевна

(Ф.И.О. студента)

(направление, группа)

_____________________________

(Ф.И.О. преподавателя)
_____________________________

(дата)

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z:

By + Cz +D = 0

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением, которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0. Особые случаи уравнения:

• 
  D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
  
• 
  C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
  
• 
  C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
  
• 
  B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
  

Прямая в пространстве может быть задана:

1. 
   как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
   

2. 
   двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
   

3. 
   точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
   

Уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений параметру t: = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt.

От уравнений можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n₁, n₂], где n₁(A₁, B₁, C₁) и n₂(A₂, B₂, C₂) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x₁, y = y₁; прямая параллельна оси Oz.