Производная функции
Производной f ′(x) называется предел отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента ∆x при ∆x→0: f ′(x) =
Геометрический смысл производной:
Значение f ′(x0) равно угловому коэффициенту касательной к кривой y=f (x), проведенной в точке кривой М0 (x0; f (x0)).
f′(x0) = kкас.
Уравнение касательной к кривой y=f (x) в точке (x0; f (x0)) имеет вид:
y-f(x0) = f′(x0)(x-x0).
Физический смысл производной:
Значение f ′(x0) показывает скорость изменения функции y=f(x) в т. (x0; f (x0)).
Теорема о производной сложной функции
Пусть y=f(u) и u=φ(x), тогда y=f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Если функция u=φ(x) имеет производную u′x в точке x, а функция y=f(u) имеет производную y′u в точке u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную y′x в точке x, которая находится по формуле:
y′x = f′u×u′x
Теорема о производной обратной функции
Если функция y=f(x) строго монотонна на (a;b) и имеет неравную нулю производную f ′(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция x=φ(y) также имеет производную φ′(y) в соответствующей точке, определяемой равенством:
или
Примеры
Найти производные функций
№771.
Примечание: использовали формулу и (C×U)′=C×U′, т.е. постоянный множитель нужно выносить за знак производной.
№772.
№774.
№775.
№776.
Примечание:
№777.
№778.
Примечание:
№779.
Примечание:
№780.
Примечание:
№781.
Примечание:
№782.
№783.
№784.
Примечание:
№786.
№792.
Примечание:
№796. Примечание:
Логарифмическое дифференцирование применяется к функциям вида
1.
2.
Поделитесь с Вашими друзьями: |
