Ответ: Даны два вектора и. Представить вектор в виде суммы двух векторов и, так, чтобы вектор был коллинеарен вектору, а вектор был ортогонален вектору. Даны два неколлинеарных вектора и. Найти вектор



Скачать 61.09 Kb.
Дата27.04.2016
Размер61.09 Kb.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1. Доказать тождество:

а) ;



б) .
2. Доказать, что
3. Даны ненулевой вектор и скаляр . Найти любое решение уравнения . (Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной; так как требуется найти любое решение, то одну из этих характеристик можно выбрать произвольно).

Ответ: .
4. Даны два вектора и . Представить вектор в виде суммы двух векторов и , так, чтобы вектор был коллинеарен вектору , а вектор был ортогонален вектору .
5. Даны два неколлинеарных вектора и . Найти вектор , компланарный векторам и и удовлетворяющий условиям , .
6. Даны три некомпланарных вектора , и . Найти вектор , удовлетворяющий системе уравнений , , .

Ответ: .
7. Даны неколлинеарные векторы и и скаляр . Найти любое решение уравнения . (Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной; так как требуется найти любое решение, то одну из этих характеристик можно выбрать произвольно).

Ответ: .
8. Доказать, что векторы , , , удовлетворяющие условию , компланарны.
9. Векторы , и удовлетворяют условию . Доказать, что .
10. Доказать, что если три вектора , и попарно неколлинеарные и , то они удовлетворяют соотношению . (Подсказка: покажите сначала, что векторы , и компланарны).
11. Даны произвольные векторы , , , . Доказать, что векторы , и компланарны.
12. Доказать, что если векторы , , компланарны, то они коллинеарны.
130. Три вектора , и связаны соотношением , , . Найти длины векторов и углы между ними.

Ответ: векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.
14. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням тетраэдра, равных по модулю площадям этих граней и направленных в сторону вершин, противолежащих граням, равна нулю.
15. Могут ли отличные от нуля числа , , , , , , , . удовлетворять системе уравнений


16. Даны три некомпланарных вектора , , , отложенных от одной точки . Выразить через , и вектор , где – ортогональная проекция точки на плоскость .

Ответ: .
17. Решить уравнение .

Ответ: , , .
18. Доказать тождество .
19. Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна .
20. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен

.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ


1. Какие из следующих множеств образуют подпространства линейного пространства ℝ:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з)

и) ;

к) ;

л) ;

м) ℤ, .
2. Какие из следующих множеств образуют подпространство линейного пространства :

а) множество свободных векторов пространства, координаты которых в декартовом базисе – целые числа;

б) множество свободных векторов пространства, параллельных оси ;

в) множество радиус-векторов, концы которых лежат на фиксированной прямой;

г) множество радиус-векторов, концы которых лежат в первой и третьей четверти;

д) множество векторов, образующих с данным ненулевым вектором угол .

3. В линейном пространстве рассматриваются множества многочленов, удовлетворяющих условиям:

а) ; б) ; в) .



Докажите, что каждое из этих подмножеств является подпространством линейного пространства ℝ и найдите его размерность.
4. Докажите, что пересечение двух подпространств линейного пространства снова является подпространством этого пространства.
5. Пусть и – подпространства линейного пространства . Суммой подпространств и (обозначают ) называется подмножество , элементы которого могут быть записаны в виде , где , . Доказать, что тоже является подпространством линейного пространства .
6. Пусть , – векторы линейного пространства, – числа. Доказать, что тогда и только тогда, когда или .
7. Доказать, что если некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и сама система линейно зависима.
8. Доказать, что если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.
9. Может ли система векторов быть линейно зависимой, если любая ее подсистема линейно независима?
10. Пусть , , – линейно независимая система векторов. Будет ли линейно независимой система векторов , , ?

Ответ: нет.
11. Пусть , , – линейно независимая система векторов. Доказать, что векторы , , также линейно независимы.
12. Доказать, что если векторы , и линейного пространства над ℝ линейно независимы, то векторы , , тоже линейно независимы.
13. Какому условию должно удовлетворять число , чтобы векторы , , пространства ℝ3 были линейно зависимыми?

Ответ: .
14. Какому условию должны удовлетворять числа , , , чтобы векторы , , пространства ℝ3 были линейно зависимыми?

Ответ: хотя бы два из трех чисел , , должны быть равны.
15. Векторы , , – линейно зависимы и вектор не является линейной комбинацией векторов , . Доказать, что векторы и различаются лишь числовым множителем.
16(*). Исследовать на линейную зависимость систему векторов:

а) , , ();

б) , . ();

в) , , ();



г) , , ().
17. Доказать, что линейный оператор пространства всегда переводит линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую.
18. Докажите, что если и – собственные векторы линейного оператора , относящиеся к различным собственным значениям, то вектор (, ) не является собственным вектором оператора .
19. Пусть – оператор, действующий из в . Ядром оператора называется множество . Доказать, что ядро оператора является подпространством линейного пространства .Найти ядро оператора дифференцирования в пространстве многочленов.
20. Доказать, что если – линейный оператор, то .






Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница