Найти экстремумы функции Решение. Необходимое условие экстремума

1. Найти экстремумы функции

Решение.

Точка возможного экстремума: M(5;-2)

2) Достаточное условие экстремума:

, где



, значит, в точке M экстремум.

A < 0; C < 0, значит, в точке M – максимум.

Ответ: Точка минимума функции: M(5;-2;168)

3. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

(1)

Решение. Уравнение (1) - это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Запишем однородное дифференциальное уравнение

Тогда общее решение уравнения (1) будет иметь вид

где - общее решение однородного уравнения (2), у* - частное решение не­однородного уравнения (1).

Для нахождения запишем характеристическое уравнение

λ² + λ – 6 = 0 (4) и решаем его.

λ₁ = -3; λ₂ = 2 – корни уравнения. Тогда

- общее решение уравнения (2).

Частное решение следует искать в виде выражения у* = Q(x)∙e^3x, где Q(x) – полином того же порядка, что и как P(x) в исходном уравнении, так как ни один из корней характеристического уравнения равен 3. В данной задаче порядок полинома P(x) = 6x + 1 равен 1, т.е. Q(x) = Ax + B.

Коэффициент C находится подстановкой у* в уравнение (1):

Подставив у*, у *' и у *" в уравнение (1), получим

Получаем – частное решение уравнения (1). Из (3) следует, что

Ответ: – общее решение уравнения (1).

5. Проверить, что данное выражение является полным дифференциалом и восстановить u(x,y) с помощью криволинейного интеграла. Сделать проверку.

Решение:

Так как то данное выражение является полным дифференциалом.

Пусть .

Пусть

Тогда

Проверка:

7. Решить с помощью ряда приближенно дифференциальное уравнение (найти пять членов разложения, отличных от нуля):

Решение:

Продифференцируем дважды:

Используем начальные условия:

Подставляем в данное дифференциальное уравнение:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа:

Ответ:

Задача 8.

Изготовление продукции П1 и П2 требует использования трех видов сырья. Запасы сырья каждого вида, а также количество сырья, необходимое для изготовления единицы каждого вида продукции, приведены в таблице. В последней строке указан доход от реализации одной единицы каждого типа продукции. Какое количество продукции П1 и П2 необходимо выпустить, чтобы доход от реализации оказался максимальным? Решите задачу симплекс-методом и геометрически.

Решение

Целевой функции соответствует семейство параллельных прямых 4x1 + x2 = F.

Задаем F = 8 и строим параллельные прямые в области увеличения x1, x2 до последней точки пересечения с областью допустимых решений ОДР.

Это точка C(4;2). Значит,

Проверим значения координат точки, находящейся на пересечении прямых 1 и 3 в исходной системе уравнений-неравенств.

Ответ: