Найти экстремумы функции Решение. Необходимое условие экстремума



Дата05.06.2020
Размер130 Kb.
ТипРешение

3 вариант.

1. Найти экстремумы функции



Решение.


1) Необходимое условие экстремума:

Точка возможного экстремума: M(5;-2)

2) Достаточное условие экстремума:

, где



, значит, в точке M экстремум.

A < 0; C < 0, значит, в точке M – максимум.



Ответ: Точка минимума функции: M(5;-2;168)

3. Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.

(1)

Решение. Уравнение (1) - это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Запишем однородное дифференциальное уравнение



. (2)

Тогда общее решение уравнения (1) будет иметь вид



, (3)

где - общее решение однородного уравнения (2), у* - частное решение не­однородного уравнения (1).

Для нахождения запишем характеристическое уравнение

λ2 + λ – 6 = 0 (4) и решаем его.

λ1 = -3; λ2 = 2 – корни уравнения. Тогда

- общее решение уравнения (2).

Частное решение следует искать в виде выражения у* = Q(x)∙e3x, где Q(x) – полином того же порядка, что и как P(x) в исходном уравнении, так как ни один из корней характеристического уравнения равен 3. В данной задаче порядок полинома P(x) = 6x + 1 равен 1, т.е. Q(x) = Ax + B.



Коэффициент C находится подстановкой у* в уравнение (1):



;

Подставив у*, у *' и у *" в уравнение (1), получим



, откуда следует:

Получаем – частное решение уравнения (1). Из (3) следует, что



.

Ответ: – общее решение уравнения (1).

5. Проверить, что данное выражение является полным дифференциалом и восстановить u(x,y) с помощью криволинейного интеграла. Сделать проверку.

Решение:




Так как то данное выражение является полным дифференциалом.

Пусть .

Пусть

Тогда

Проверка:



Ответ:

7. Решить с помощью ряда приближенно дифференциальное уравнение (найти пять членов разложения, отличных от нуля):



Решение:


Ищем решение в виде степенного ряда:

Продифференцируем дважды:



Используем начальные условия:



; .

Подставляем в данное дифференциальное уравнение:



Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа:



Ответ:


Задача 8.

Изготовление продукции П1 и П2 требует использования трех видов сырья. Запасы сырья каждого вида, а также количество сырья, необходимое для изготовления единицы каждого вида продукции, приведены в таблице. В последней строке указан доход от реализации одной единицы каждого типа продукции. Какое количество продукции П1 и П2 необходимо выпустить, чтобы доход от реализации оказался максимальным? Решите задачу симплекс-методом и геометрически.


Виды сырья

Запасы сырья

Виды продукции

П1

П2

С1

18

3

3

С2

10

1

2

С3

8

2

0

Доход

4

1

Решение


Целевой функции соответствует семейство параллельных прямых 4x1 + x2 = F.

Задаем F = 8 и строим параллельные прямые в области увеличения x1, x2 до последней точки пересечения с областью допустимых решений ОДР.

Это точка C(4;2). Значит,



Проверим значения координат точки, находящейся на пересечении прямых 1 и 3 в исходной системе уравнений-неравенств.



Ответ:







Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница