Методика обучения по профилю Математика


Глава 1. Понятие отрицательного числа в современной математике и в истории



Скачать 136,72 Kb.
страница5/14
Дата12.01.2021
Размер136,72 Kb.
ТипКурсовая
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Глава 1. Понятие отрицательного числа в современной математике и в истории

    1. Исторические замечания о возникновении отрицательных чисел


В литературе, посвященной истории возникновения числа, отмечается, что натуральные числа возникли при счете предметов [6, с. 19]. Потребность человека измерять величины и то обстоятельство, что результат измерения не всегда выражается целым числом, привели к расширению множества натуральных чисел. Были введены нуль и дробные числа.

Процесс исторического развития понятия числа на этом не закончился. Однако не всегда первым толчком к расширению понятия числа были исключительно практические потребности людей. Бывало и так, что задачи самой математики требовали расширения понятия числа. Именно так обстояло дело с возникновением отрицательных чисел. Понятие об отрицательных числах возникло в практике решения алгебраических уравнений [6].

После расширения множества натуральных чисел до дробных стало возможным делить любое целое число на другое целое число (за исключением деления на нуль). Вычитать же целое число из другого целого числа, когда вычитаемое больше уменьшаемого, долгое время казалось невозможным. Однако при решении уравнений нередко приходилось производить вычитание большего числа из меньшего и сталкиваться, таким образом, с понятием отрицательного числа.

Не только египтяне и вавилоняне, но и древние греки не знали отрицательных чисел. Понятие отрицательного числа появляется при решении систем линейных уравнений. Для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской, на которой числа изображались с помощью счетных палочек. Так как знаков “+” и “-” в то время еще не было, палочками красного цвета изображали положительные числа, отрицательные же – палочками черного цвета. Отрицательные числа долгое время называли словами, которые означали “долг”, “недостача”. Даже в VII в. в Индии положительные числа толковались как имущество, а отрицательные – как долг. Индийские ученые, стараясь найти в жизни образцы вычитания из меньшей величины большей, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов. “Если купец имеет денежных единиц и закупает товара на денежных единиц, у него остается денег. Если же он имеет , а закупает товар на , то он остается в долгу на . В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание , результатом же является число (2000 с точкой наверху), означающее “две тысячи долга” [5, с. 129]. В Древнем Китае были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись.

Еще в III в. древнегреческий математик Диофант фактически уже пользовался правилом умножения отрицательных чисел при таких преобразованиях:

Однако для Диофанта не самостоятельное отрицательное число, а всего лишь “вычитаемое”, любое же положительное число – “прибавляемое”. Правило умножения он выражает так: “Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает в результате вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое дает прибавляемое”. Отдельно взятые отрицательные числа Диофант не признавал, и если при решении уравнения получался отрицательный корень, то он отбрасывал его как “недопустимый”. Диофант старался так формулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избегать отрицательных корней.

Совершенно по-иному относились к отрицательным числам индийские математики. Они признавали существование отрицательных корней уравнения, толковали положительные числа как представляющие имущества, а отрицательные – долги, применяя к ним все правила четырех действий, однако без должного теоретического обоснования.

Вот несколько правил сложения и вычитания, изложенные индийским математиком Брахмагуптой в VII в. н. э. [6]:

Таблица 1.1

Современная запись

Правила Брахмагупты







Сумма двух имуществ есть имущество.

Сумма имущества и долга равна их разности.

Долг, вычитаемый из нуля, становится имуществом.


Индийский математик Бхаскара (XII в.) выразил правила умножения и деления следующим образом: “Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имуществ на долг есть убыток. То же правило имеет место и при делении” [6].

Однако, несмотря на широкое использование отрицательных чисел при решении задач с помощью уравнений, в Индии относились к отрицательным числам с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными. Бхаскара прямо писал: “Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел…” [6].

Не одобряли их долго и европейские математики, потому что истолкование “имущество – долг” вызывало недоумения и сомнения. В самом деле, можно “складывать” или “вычитать” имущества и долги, но какой реальный смысл может иметь “умножение” или “деление” имущества на долг?

Вот почему с большим трудом завоевывали себе место в математике отрицательные числа.

В Европе отрицательные числа упоминаются уже у Леонардо Фибоначчи (XII-XIII вв.). Отрицательные числа находят некоторое применение и толкуются как “долги” и у других европейских ученых XIV-XVI вв.; однако большинство ученых называет новые числа “ложными”, в отличие от “истинных” положительных чисел.

Это отношение мало изменилось и после того, как немецкий математик Михаил Штифель дал в 1544 г. новое определение отрицательных чисел как чисел, “меньших, чем ничто”, т.е. меньших нуля. Несмотря на то, что эта точка зрения означала шаг вперед в деле теоретического обоснования отрицательных чисел, общая неясность относительно природы новых чисел не исчезла. Люди долгое время не могли привыкнуть к мысли, что существует величина “меньше, чем ничто…”. Сам Штифель писал: “Нуль находится между истинными и абсурдными числами…”. Валлис же определял положительные и отрицательные числа как числа, друг другу противоположные (прибыль и потеря). Однако в одном случае Валлис из неравенства



для натуральных чисел заключил, что

т. е. что отрицательные числа больше бесконечности [3]. Эту же точку зрения позднее высказал и Эйлер.

В XVII в. математика, механика, астрономия получили широкое развитие. Отрицательные числа, применение которых значительно облегчило математические вычисления, все более прочно входят в математику. Еще в 20-х годах XVII в. ученик Стевина, фламандский математик А. Жирар, решая уравнения, систематически учитывает и отрицательные корни и пользуется отрицательными числами наравне с положительными.

В знаменитом произведении французского математика, физика и философа Декарта “Геометрия”, изданном в 1637 г., описывается геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел; положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево.

Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел привело к более ясному пониманию природы отрицательных чисел, способствовало их признанию. Представляя положительные и отрицательные корни уравнений противоположно направленными отрезками, Декарт тем самым считал, что эти корни равноправны, одинаково реальны, хотя и продолжал по традиции называть одни истинными, другие – ложными.

Однако, правила умножения и деления с отрицательными числами по-прежнему оставались необоснованными. Поэтому, даже в XVIII в. еще не достигли ясного понимания того, что отрицательные числа представляют собой закономерное расширение числовой системы, и спор между учеными о том, можно ли признавать отрицательные числа действительно существующими самостоятельно, как и числа положительные, продолжался. Такое признание отстаивали, в частности, Ньютон, Эйлер и почти все русские математики того времени. Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX в., когда была развита достаточно строгая теория положительных и отрицательных целых чисел.

Как можно заметить, путь отрицательных чисел в истории оказался тернистым: от “ложных” и “абсурдных” – к признанию их существующими самостоятельно, как и положительные числа.

Основной проблемой, стоявшей перед математиками древности и в средние века, было обоснование правил действий с отрицательными числами, особенно – правил умножения и деления.

Окончательно отрицательные числа вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта (XVII в.), давшего геометрическое истолкование отрицательных чисел как направленных отрезков.


1.2. Современные представления об отрицательных числах

В математических энциклопедических словарях и учебниках по математике отрицательное число формально определяется как действительное число, меньшее нуля, либо как число со знаком “-” перед ним. На числовой прямой отрицательные числа изображаются точками, лежащими левее начала отсчета, т. е. левее нуля.

Однако можно рассматривать отрицательные числа через их включение в различные числовые системы: систему действительных чисел и систему комплексных чисел.

Отрицательные числа как расширение различных числовых систем

Добавляя множество отрицательных чисел и число нуль к множеству натуральных чисел, получаем множество целых чисел.

Сумма любого натурального числа и числа 0 есть число :

Любому натуральному числу соответствует единственное отрицательное целое число : такое, что сумма чисел и равна нулю:

Сложение и умножение целых чисел, также, как и сложение и умножение натуральных чисел, коммутативно и ассоциативно. Кроме того, операции сложения и умножения целых чисел, как и в случае натуральных чисел, связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения, т.е. для любых для любых из :







Разность двух натуральных чисел в множестве натуральных чисел определена только тогда, когда . Тогда как в множестве целых чисел операция вычитания выполнима всегда.

Следовательно, множество целых чисел получается расширением множества натуральных чисел путем добавления новых числовых объектов, таких, что в расширенном множестве :


  1. множество является собственным подмножеством;

  2. сложение и умножение натуральных чисел в множестве совпадает с одноименными операциями в множестве ;

  3. вычитание в множестве всегда выполнимо, т. е. разность любых двух элементов (чисел) из является элементом (числом) из ;

  4. расширенное множество минимально в том смысле, что оно не содержит собственного подмножества, удовлетворяющего условиям 1)-3).

Множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение, обе ассоциативные и коммутативные, связанные между собою законом дистрибутивности, является полем [10].

Кроме того, в поле требуется существование нулевого элемента 0 (нуля), для которого , и для каждого элемента противоположного элемента , т. е. такого элемента, что , а также существование единичного элемента (единицы), для которого , и для каждого ненулевого элемента существование обратного элемента , т. е. такого элемента, что . Отсюда следует, что в поле выполнимы операция вычитания, а также операция деления на ненулевой элемент. Таким образом, все элементы поля образуют абелеву группу по сложению (аддитивная группа поля), а все ненулевые элементы – абелеву группу по умножению (мультипликативная группа поля) [10].

Заметим, что множество целых чисел не является полем, поскольку нет обратного элемента для любого из (например, - не целое). Однако, множество целых чисел – абелева группа, относительно сложения [14].

Полями являются множества всех действительных чисел ℝ и всех комплексных чисел .

Следовательно, можно сделать вывод, что ℤ – расширение множества натуральных чисел – расширение множества , а – расширение множества .

Отрицательные числа как специальный случай комплексных чисел. Геометрическое изображение комплексных чисел. Всякое комплексное число мы можем изображать как точкой на плоскости с координатами и (рис. 1), так и вектором, начало которого находится в точке , а конец – в точке с координатами (рис. 2).
Рисунок 1 Рисунок 2

При таком изображении комплексного числа его действительная часть и коэффициент при мнимой части являются проекциями изображающего вектора на действительную ось и мнимую ось .




Заметим, что любой вектор с началом в точке однозначно определяется парой или , где – расстояние точки от начала координат, а - угол, который составляет радиус-вектор данной точки с положительным направлением оси абсцисс (рис. 3). При этом называют модулем, а – аргументом комплексного числа и обозначают , . Отметим, что аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до аддитивного слагаемого, кратного [16].

Рисунок 3

Действительное число является частным случаем комплексного числа. В самом деле, аргумент положительного действительного числа равен , аргумент отрицательного действительного числа равен ; на действительной оси из начала координат выходят лишь два направления и их можно различать двумя символами “+” и “-“. Заметим, что на комплексной плоскости направлений, выходящих из точки 0, бесконечно много и различаются они уже углом, составляемым ими с положительным направлением действительной оси. Геометрическая интерпретация сложения и умножения комплексных чисел. Изображение комплексных чисел точками плоскости приводит к естественному желанию иметь геометрическую интерпретацию операций, определенных для комплексных чисел. Для сложения такая интерпретация может быть получена без затруднений. Пусть даны числа и . Строим соответствующие этим числам радиус-вектора. Согласно определению сложения комплексных чисел: . Тогда сумма изобразится вектором, компоненты которого равны суммам соответствующих компонент и , т. е. число представится диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как сторонах. Таким образом, сложение комплексных чисел геометрически выполняется по правилу параллелограмма, т. е. по правилу сложения векторов, выходящих из начала координат. Однако, сложить комплексные числа геометрически можно и, используя правило треугольника для сложения произвольных векторов. Для этого потребуется построить вектор, коллинеарный одному из радиус-векторов (например ), и совместить начало этого вектора с концом радиус вектора . Тогда и сложение действительных чисел можно рассматривать в смысле геометрической интерпретации сложения комплексных чисел с использованием правила треугольника для сложения векторов. Следствие. Модуль суммы двух комплексных чисел меньше или равен сумме модулей слагаемых, но больше или равен разности этих модулей:

Доказательство:

Неравенства вытекают из известной теоремы элементарной геометрии о сторонах треугольника (т. е., что длина любой из сторон треугольника меньше суммы длин двух других сторон, но больше разности длин этих сторон) ввиду того, что равен, как мы знаем, диагонали параллелограмма со и . Лишь в случае, когда точки , и 0 лежат на одной прямой, т. е. и – действительные числа, в формулах могут достигаться равенства.

Для интерпретации умножения удобнее воспользоваться тригонометрической формой записи комплексных чисел:



Пусть комплексные числа и заданы в тригонометрической форме:



Перемножая эти числа, получаем:



Мы получили запись произведения в тригонометрической форме, и поэтому , или



т. е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей; далее,



т. е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей. Эти правила распространяются на любое конечное число множителей. В применении к случаю действительных чисел формула дает известное свойство абсолютных величин этих чисел, а превращается в правило знаков при умножении действительных чисел. Действительно, при умножении двух отрицательных чисел , т. е. результат получается со знаком “+”; а при умножении чисел с разными знаками , следовательно, результат – число отрицательное.

Определяя отрицательные числа лишь через их включение в различные числовые системы, мы не сможем задать геометрическую интерпретацию правил действия с ними, что является важным для формирования понятия.

Однако, если действительное число определять, как специальный случай комплексного числа, тогда сложение и, что особенно важно, умножение отрицательных чисел и чисел с разными знаками имеет явный геометрический смысл, исходящий из геометрической интерпретации сложения и умножения комплексных чисел. Действия вычитания и деления можно рассматривать как обратные действиям сложения и умножения.

Здесь возникает предположение, что, возможно, и в XIX веке отрицательные числа получили всеобщее признание лишь потому, что именно тогда “К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел (1831)” [8], включающую и геометрическую интерпретацию. Однако из-за весьма расплывчатых сведений, содержащихся в источниках по истории математики, ни подтвердить, ни опровергнуть данное предположение не удалось.



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница