Методика изучения формул сокращенного умножения



Скачать 26,53 Kb.
Дата23.05.2020
Размер26,53 Kb.
ТипЛекция

ЛЕКЦИЯ 4. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Содержание лекции: Математические фокусы, основанные на составлении математических выражений. Одночлены, многочлены и их свойства. Типичные ошибки учащихся при изучении одночленов и многочленов. Методика изучения формул сокращенного умножения.

Подготовкой к изучению темы «Формулы сокращенного умножения» считаются темы «Одночлены» и «Многочлены». Достаточно простой и понятный материал по этим темам можно разнообразить занимательными задачами.

Например: пронумеруем дни недели: понедельник – первый день, вторник – второй и т.д. Задумайте какой-либо день недели, умножьте его номер на 2, прибавьте к произведению 5, умножьте сумму на 5, допишите к найденному числу справа 0 и назовите результат.

Учитель вычитает из названного результата 250. Цифра сотен в результате дает номер задуманного дня недели.

Учащимся предлагается объяснить секрет математического фокуса.

Решение: ; (2а+5)50=100а+250; 100а+250-250=100а.

Можно предложить ребятам отгадать секрет еще одного фокуса: отгадывание числа и месяца рождения.

Предлагается число своего рождения умножить на 2, а потом приписать к найденному числу справа 0. К полученному числу прибавить 73, а сумму умножить на 5. К результату прибавить порядковый номер месяца своего дня рождения и назвать результат.

Учитель из названного результата вычитает 365. Тогда первые две цифры разности дают число дня рождения, а последние две – порядковый номер месяца.

Решение: пусть с – номер месяца, а – число дня рождения, тогда имеем:

(20а+73)5+с=100а+365+с

100а+365+с-365=100а+с.

В темах «Одночлены» и «Многочлены» учащиеся сталкиваются с большим числом новых для них понятий. Коснемся самых основных из них.

Определение 1: Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями - умножением и возведением в натуральную степень.

Например, каждое из алгебраических выражений 8; a; -10; bc; 4a; -c; -a·b2·c2; m·n·p4·k является одночленом. Если в одночлене произведение всех чисел записать перед буквами, а произведение каждой его буквы и ее степеней представить в натуральной степени этой буквы, то после такого преобразования одночлен считается записанным в стандартном виде, а его числовой множитель называется коэффициентом одночлена.

Основные свойства одночленов:

1. Степень одночлена, представляющего собой число, считается равной нулю.

2. Чтобы умножить одночлен, нужно перемножить их коэффициенты и перемножить степени с одинаковыми основаниями.

3. Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести его коэффициент в эту степень и умножить показатель степени каждой буквы на показатель степени, в которую возводится одночлен.

Определение 2: Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами.

Учащиеся должны понимать, что одночлен является частным случаем многочлена.

Одночлены называются подобными, если, будучи записанными в стандартном виде, они совпадают или различаются только коэффициентами. Например, одночлены 2a3·a; a4; 7a2; -5a4 подобны. Подобные члены многочлена можно объединить в один член, им подобный, с коэффициентом, равным алгебраической сумме коэффициентов объединяемых членов; такая их замена называется привидением подобных членов.

Учащиеся знакомятся с двумя правилами раскрытия скобок в математических выражениях:

а) многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак плюс, можно записать без скобок, сохранив знаки, стоящие перед его одночленами, например: 1+3a+(8b-4kc-5k+x) = 1+3a 8b-4kc-5k+x;

б) многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак минус, можно записать без скобок, поменяв знак, стоящий перед каждым его одночленом, на противоположный, например: 4x-(4a-3bx+4ab-x2) = 4x-4a+3bx-4ab+x2.

Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов. Например, разность многочлена 5x+7y·x-3b и многочлена 4x-2y+5x·y есть многочлен x+2xy+2y-3.

Правила умножения многочлена на одночлен и многочлена на многочлен должны быть отработаны на большом количестве примеров, например: (x+y)·(x-a-b)=x·x+x·(-a)+x·(-b)+y·x+y·(-a)+y·(-b)=x2-ax-xb+yx-ya-yb.

Затем учащиеся учатся представлять многочлен в виде произведения двух или нескольких многочленов (разложение многочлена на множители). Для разложения многочлена на множители в школе применяются различные методы: формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки, метод группировки и др.

При разложении на множители бывает полезным использовать метод выделения полного квадрата относительно некоторой буквы (или выражения).

Например, x2+4x+8=x2+2·2·x+22+4=(x+2)2+4.

Многочлен Pn(x) относительно переменной x вида:

Pn(x) = a0·xn + a1·xn-1+ a2·xn-2+…+ an-1·x+ an, где a0, a1, a2… an - действительные числа и a0 0, называется многочленом, расположенным по убывающим степеням x, или многочленом, представленном в каноническом виде. Числа a0, a1, a2… an называются его коэффициентами, одночлен a0·xn – называют старшим членом, а число n-степенью многочлена.

Если у многочлена, представленного в каноническом виде, отсутствует некоторая степень x, то коэффициент соответствующего одночлена равен нулю.

Для решения задач на доказательство математических тождеств применяется еще одно свойство многочленов: два многочлена, представленные в каноническом виде, тождественно равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях x.

При работе с одночленами и многочленами следует своевременно устранять типичные ошибки учащихся. Их много. Попробуем их классифицировать:

I. Ошибки в тождественных преобразованиях целых выражений.

Например, учащиеся в примере 9а+3а= складывают коэффициенты, а переменные перемножают: 9а+3а=12а2. Или складывают отдельно коэффициенты и переменные: 9а+3а=12+2а. При вычитании вычитают коэффициенты, а про буквенные выражения «забывают»: 9а‑3а=6. Такие ошибки связаны с непониманием смысла распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания.

При сложении (вычитании, умножении, делении) степеней учащиеся часто складывают (вычитают, умножают, делят) и коэффициенты, и показатели степеней: 3а2+5а2=8а4 или а422 или х3 х26 или с623.

Для устранения перечисленных выше ошибок рекомендуются задания, в которых от учащихся требуется доказательство истинности или ложности выводов.

Например:

1. Докажите, что в равенствах bm+bn=bm+n, 2a3 3a=5a2, 3x+5x+2x=10x3 допущены ошибки. Найдите эти ошибки, исправьте равенства.

2. Сравните значения выражений 3а2+5а2, 8а4, 8а2 при а=2, . Объясните, между какими двумя из данных выражений можно поставить знак равенства и почему.

3. Даны равенства 2а+□=8а, □ 3а2=6а7. Вставьте вместо квадратов такие числа или выражения, чтобы равенства были верными. Перечислите свойства, которыми вы при этом пользовались.

4. Среди выражений 15+2х, 7х+10х, 20х-3х, 17х найдите такие, которые принимают равные значения при любых значениях х.

II. Ошибки, допускаемые при разложении многочленов на множители.

Вынося за скобки общий множитель, совпадающий с одним из членов многочлена, учащиеся забывают поставить единицу на место этого члена: 4а4b2+36a2b3+4a2b2=4a2b2(a2+9b).

Если общий множитель – многочлен, то учащиеся записывают его дважды: m2(m+a)-b(m+a)=(m+a)(m+a)(m2-b).

Если общий множитель – разность, то учащиеся могут не учесть, с какими знаками входят в исходное выражение компоненты этой разности: х43у-у3+ху23(х-у)-у2(у-х)=(х-у)(х32).

При умножении многочленов встречаются такие ошибки: (a+b)(a+b)=a2+b2, (2a+3b)(4c+5a)=8ac+15ab, (3ab+1)(3ab-1)=9a2b2+3ab.

Причем многие из перечисленных ошибок являются следствием торопливости учащихся. Для преодоления этих ошибок рекомендуются следующие задания:

1. Даны равенства:

b2(x+a)-b3(…)=b2(x+a)(1-b)

m2(1-n)-m3(n-1)=m3(…)(m2+1).

Вместо многоточий поставьте такие выражения, чтобы равенства получились верными.

2. Выполните действия: 2ах2(3у+1)= и 6ах2у+2ах2=. Можно ли поставить знак равенства между этими выражениями?

III. Ошибки в действиях с дробями.

Складывая дроби, учащиеся забывают умножить их числители на дополнительные множители: .

Целое выражение прибавляют к числителю без приведения к общему знаменателю: .

Изменяют знак лишь у первого члена вычитаемого многочлена, забывая изменить его и у последующих членов: .

Задания на исправление ошибок:

1. Найдите ошибки в сложении дробей: .

2. Объясните, верны ли результаты действий:

а) ; б) ; в) .

Предупреждение подобных ошибок позволит усвоить тему «Формулы сокращенного умножения» без осложнений.

Изучение темы лучше начать с устных заданий, проецируемых на экран:

1. В выражениях а+3, 2с-5, -х-2х назовите первое слагаемое, второе слагаемое.

2. Найдите квадраты выражений: с, -4, 3m, 5х2у3.

3. В выражениях b-7, d+3, 2x+1, 5-2n найдите квадрат первого слагаемого, второго слагаемого.

4. Найдите произведение 3х и 6у. Чему равно удвоенное произведение этих выражений?

5. Найдите удвоенное произведение выражений 2 и 5а; у и -1; -2с и 3.

6. Прочитайте выражения: а) а+b; б) a2+b2; в) (a+b)2; г) x-y; д) (x-y)2; е) x2-y2.

7. Выполните умножение: (х+6)(х-5)=

8. Объясните, как умножить многочлен на многочлен.

Дальнейшее разворачивание темы может пойти по следующему сценарию.

Математики давно заметили, что некоторые многочлены можно умножать быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращенного умножения. Учащиеся выступят в роли исследователей, которые «откроют» первые две такие формулы. Класс делится на семь групп по четыре человека. Каждая группа получает свое задание: заполнить на доске одну из семи строк таблицы, перемножив пары двучленов. Один член группы записывает полученный группой ответ на доске:

1 группа: (m+n)(m+n)= =m2+2mn+n2

2 группа: (c+d)(c+d)= =c2+2cd+d2

3 группа: (x+y)(x+y)= =x2+2xy+y2

4 группа: (p+q)(p+q)= =p2+2pq+q2

5 группа: (k+l)(k+l)= =k2+2kl+l2

6 группа: (8+m)(8+m)= =64+16m+m2

7 группа: (n+5)(n+5)= =n2+10n+25
Что общего можно обнаружить в условиях и в ответах? Можно ли выражение в левом столбце записать короче? Открывается центральная часть и записывается общая формула квадрата суммы.

1 группа: (m+n)(m+n)= (m+n)2 =m2+2mn+n2

2 группа: (c+d)(c+d)= (c+d)2 =c2+2cd+d2

3 группа: (x+y)(x+y)= (x+y)2 =x2+2xy+y2

4 группа: (p+q)(p+q)= (p+q)2 =p2+2pq+q2

5 группа: (k+l)(k+l)= (k+l)2 =k2+2kl+l2

6 группа: (8+m)(8+m)= (8+m)2 =64+16m+m2

7 группа: (n+5)(n+5)= (n+5)2 =n2+10n+25

Изменится ли результат, если потребуется возводить в квадрат не (a+b), а (a-b)? Как изменится выражение a2+2ab+b2?

Закрепление темы проводится через отработку навыка применения формул на большом количестве примеров.

Например, задача Диофанта:

Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов:

2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2;

2+b2)(c2+d2)=(ac-bd)2+(bc+ad)2.

Темы «Куб суммы» и «Куб разности» относятся к дополнительному материалу, рекомендуемому для самостоятельного изучения.

Изучение формул сокращенного умножения заканчивается знакомством учащихся с пятью способами разложения многочлена на множители:

а) вынесение за скобки общего множителя многочлена;

б) применение формул сокращенного умножения;

в) выделение полного квадрата;

г) группировка членов многочлена;

д) применение различных способов разложения многочлена на множители.

Например, преобразуйте данное целое выражение в произведение многочленов:



(2m+n)(6m+2n)-(m-3n)(8n+16m)=2(2m+n)(3m+n)+8(3n-m)(2m+n)=2(2m+n)(3m+n+12n-4m)= 2(2m+n)(13n-m).

Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница