Математика Древнего Египта
Скачать 237,31 Kb.
|
Математика Древнего Египта
|
Лекция 3 Тема: Математика Древнего Египта. :
Источники (Московский папирус, папирус Райнда). Иероглифическая нумерация. Действие над натуральными числами и дробями. Красные числа. Задачи, приводящие к линейным и двучленным квадратным уравнениям. Прогрессии. Геометрические знания. Значение математики древнего Египта. 1. Наиболее древние письменные математические тексты, известные в настоящее время, принадлежат таким великим цивилизациям древнего Востока как Египет и Вавилон, возникших в долинах Нила, Двуречья Тигра и Евфрата. Одновременно с древним Египтом и Вавилоном появились цивилизации в Индии, в Китае, Средней Азии и Закавказье, Индокитае и Индонезии, на островах и европейском и азиатском побережье Средиземного моря. Математические документы сохранились только в Египте, Месопотамии, Индии и Китае. Все эти государства были земледельческими. Площадь, пригодная для земледелия во всех этих странах была невелика, её можно было увеличить только путём проведения оросительных каналов или осушения болот. Работы по проведению каналов и осушению болот, необходимость установления границ между полями потребовали создания сельских общин. Поэтому наряду с натуральным хозяйством этих общин появляется распределение, связанное со значительными общественными работами, а также с частыми войнами, в которые вовлекаются большие массы людей. В этих государствах появляются математические задачи, к которым приводит необходимость расчётов при проведении каналов, строительстве плотин, складов для зерна, дворцов, храмов и военных укреплений, при межевании земель, распределении материалов и продуктов среди участников общественных работ или военных походов, при торговых сделках, вождении торговых или военных караванов и мореплавании. Об этих задачах и говорят те математические документы, которые в том или ином виде сохранились до нашего времени. В Египте математические тексты писались на хрупком папирусе, иногда на коже, и сохранились только те тексты, которые были положены в пирамиды – усыпальницы высокопоставленных египтян – для того, чтобы души покойников могли читать свои любимые произведения в загробном мире; вавилонские же тексты были написаны клинописью на сырой глине, которая затем обжигалась, и до нас дошло огромное число математических клинописных текстов. Рассмотрим математику древнего Египта, о которой располагаем более бедными сведениями, по сравнению с Вавилоном. Большинство математических текстов, сохранившихся в памятниках древнего Египта, написаны на папирусе – бумаге, выделанной из стебля одноимённого растения. Самый большой, сохранившийся до наших дней древнеегипетский математический текст – это так называемый папирус Райнда размером (5,25м. 33см.), содержащий 84 задачи. Названный по имени владельца, приобретшего папирус в 1858 г., он ныне хранится частично в Лондонском Британском музее, частично в Нью-Йорке. Другой папирус примерно такой же длины, но гораздо более узкий (5,44м. 8см.), приобретённый в конце прошлого века русским востоковедом В.С. Голенищевым, принадлежит Московскому Музею изобразительных искусств имени А.С. Пушкина. Этот свиток содержит 25 задач. Оба папируса переведены на современные языки и прокомментированы и относятся папирусы к эпохе Среднего царства. Носителями научных знаний были чиновники, состоявшие на государственной или храмовой службе. Мы не располагаем никакими известиями о математических знаниях Раннего и Древнего царств, эпохи Нового царства. Правда полагают, судя по некоторым отрывкам, что математика мало изменилась с тех пор, как были составлены Московский папирус и папирус Райнда. Дальнейшая история Египта, история 1 тысячелетия до нашей эры, - полоса упадка страны и господства иностранных завоевателей, сначала эфиопов, затем ассирийцев и персов. После завоеваний Египта Александром Македонским начинается процесс плодотворного синтеза греческой и египетской культур. Александрия становится крупнейшим центром науки наступающей эпохи эллинизма, и она сохраняет это значение еще долгие века спустя после завоевания Египта Римом (30 г. до н.э). Вновь с математическими работами египтян мы встречаемся в эпоху эллинизма и в период распространения ислама, но это уже совсем другая культура, другая и математика. Древне египетская цивилизация закончила своё существование. 2 . Египетская иероглифическая нумерация была чисто аддитивной: имелись особые знаки только для единицы, десяти, ста, тысячи, десяти и ста тысяч, миллиона и десяти миллионов. При записи числа иероглифы единицы, десятка, сотни и т.д. писались столько раз, сколько в данном числе единиц в соответствующих разрядах, причем разряды записывались в порядке, обратном нашему (египтяне писали справа налево). Например, число 624 писали так: У же в скорописном иератическом письме, заменившем первоначальное иероглифическое письмо, которым и написаны дошедшие до нас математические папирусы, имеются особые знаки как для первых девяти чисел, так и для десятков, сотен и тысяч. Кроме обозначений целых чисел, египтяне имели также специальные обозначения для дробей вида и дроби ; дроби обозначались специальными иероглифами, а основные дроби вида обозначались знаком числа n, над которым ставился знак (рот- “часть”): . 3. Счет у египтян состоял из умения складывать, удваивать, дополнять дроби до единицы. Поэтому умножение на целое число и деление без остатка производились с помощью удвоения, т.е. однократного сложения числа с самим собой. Для этого множитель представляли как сумму тех или иных членов последовательности 1,2,4,8,16,…, что всегда возможно. Рассмотрим схему умножения из задачи №32 папируса Райнда, где множитель представлен в виде степеней двойки (колонка слева): 1 12 на этом процесс удвоения заканчивается, т.к. среди 2 24 степеней двойки есть уже необходимые слагаемые /4 48 множителя, которые отмечались косой чертой. /8 96 Сумма 144 Особо выделялись еще умножение на 10 и 5, т.е. учитывались свойства десятичной системы. Деление производилось как действие, обратное умножению. В задаче №69 папируса Райнда, где делится , указание гласит: “Умножай 80 (буквально: складывай, начиная с 80), пока не получишь 1120” 1 80 /10 800 2 160 /4 320 ________ 1120. Таким образом, непосредственно определяется сколько раз делитель содержится в делимом. Частное складывается из чисел, соответствующих слагаемым делителя, отмеченным черточкой. Наряду с удвоением при делении употреблялось раздвоение. Например, для вычисления 2:8 пользовались схемой: / Деление целого числа на целое 19:8. Составим таблицу 1 8 /2 16 4 / 2 1 В которой удвоение совершается один раз, т.к. следующее дало бы число, больше делимого. Затем совершается деление пополам, продолжающееся до тех пор, пока справа не получится 1. Целая часть (2) находится так: вычитая из делимого (19) «частное произведение» (16), находим 3, это число нужно аддитивно составить из чисел правого столбца, т.к. последний содержит только степени числа 2, то это возможно единственным способом : 3=2+1. Отмечая соответствующие строки косыми чёрточками, находим, что частное выражается «смешанным числом» или , тогда . Так как в общем при делении целых чисел ответ не всегда будет однозначным. Например, результат деления 5:12 можно представить двояко: и , смотря по тому, как разбить число 5 на слагаемые, являющиеся делителем числа 12, т.е. представить ли его в виде 5=4+1 или 5=3+2. Кроме того, как правило, такое разбиение и не всегда возможно. Поэтому непосредственный подбор основных дробей, составляющих результат, в общем случае был очень трудным делом. Отсюда, вероятно, возникла идея составления подсобных таблиц, в которых содержались бы готовые результаты некоторых «опорных» операций. Такой опорной операцией в египетской вычислительной технике служит деление 2:k, где k – нечетные целые числа (если k есть четное число 2 k/, то результат сразу представляется основной дробью /). В самом деле, каждое целое число представляется с помощью последовательных удвоений (начиная от 1) в виде суммы степеней числа 2. Таким образом, вопрос о делении произвольного числа сводится к вопросу о делении чисел вида , например . Источниками возникновения дробей послужили: 1) процесс дробления целого на части; 2) процесс измерения. Самым трудным был случай нецелого деления. Общими рациональными дробями вида египтяне не оперировали. Это не значит, что они не имели вообще представления о таких дробях, они умели по-своему выражать частные вида m:n. Для этого им служили аликвотные дроби-доли единицы вида , которые принято записывать в виде (у историков математики), черточка символизирует египетский знак. Деление m:n египтяне иногда представляли как умножение ; в этом, быть может, сказалось влияние математики вавилонян, которые всегда приводили деление на целое число к умножению на обратную ему дробь. К роме дробей вида , египтяне оперировали еще дробью , для которой имелся знак , мы будем обозначать её . Дроби типа - натуральные дроби, имели индивидуальные названия (это были доли египетской единицы площади “сетат”). В вычислительной технике древнего Египта появилась теоретико-числовая задача о разложении дробей на сумму аликвотных. Эта задача, не имеющая единственного решения решалась египтянами эмпирически в несколько этапов. Самые простые разложения чиновники должны были знать наизусть, они встречались на каждом шагу. В текстах они употребляются без особых разъяснений: И з них простыми комбинациями выводились следующие соотношения: , (3) , (4) . (5) Выражения (1) - (5) делятся на 2, 3, 4 и получается еще серия разложений: и т.п. Правило (3) представляет начало создания таблицы канонических разложений при удвоении дробей: (то же, что (3)), (разделено на 3), (разделено на 5) и т.п. В таблице должны содержаться разложения только для нечетных , т. к при удвоении дроби она дает просто . При удвоении дробей вида , можно пользоваться разложением . 4. Красные числа. Красные числа это не что иное как дополнительные множители, подобные тем, которыми мы пользуемся при приведении дробей к общему знаменателю. Красные числа могут быть не только целыми, но и дробными. Общим знаменателем является не наименьшее общее кратное, а просто в большинстве случаев наибольший из знаменателей данных дробей. Все остальные дроби выражаются через эту наименьшую дробь, “измеряются” некоторой минимальной мерой, которая не всегда может целое число раз уложиться в заданных величинах. Эта процедура нужна была в тех сложных случаях деления 2 на 31, …, когда по египетскому способу, получив единицу с некоторой дробью, требовалось оценить, сколько же еще не хватает до 2. Пример. Схема деления 37 на в задаче 33 папируса Райнда такова: 1 . 2 (т.к. ). 4 (т.к. ). 8 16 Н айти надо, сколько не достает дроби до единицы и выразить в других единицах эту недостачу и делитель чтобы можно было сравнить их. Здесь такой единицей является дробь а не , потому что главная цель красных чисел – дать в сумме целое число. Остаток в новых единицах, т.е. долях : Красные числа (они взяты в кружки) в сумме дают 40. Значит до единицы не хватает двух . Делитель же в новых единицах слагается из: т.е. равен 97 этих новых единиц. Следственно, в первой схеме удвоений к частному 16 надо еще прибавить , что по таблице канонических разложений представляется суммой . Тогда в правой части схемы будет число 37, которому в левой части будет соответствовать частное, равное . Это и есть ответ. Скачать 237,31 Kb. Поделитесь с Вашими друзьями:
|