Математического развития


Основные идеи порядковой теории натуральных чисел



страница28/105
Дата19.08.2022
Размер3,28 Mb.
#188491
1   ...   24   25   26   27   28   29   30   31   ...   105
Связанные:
3 A Mikhaylova E D Nosova A A Stolyar

Основные идеи порядковой теории натуральных чисел
В конце XIX в. была построена порядковая теория натураль­ных чисел, которая обычно связывается с именем итальянского математика Джузеппе Пеано (1858—1932), построившего эту тео­рию на аксиоматической основе.
Весьма развитый в математике аксиоматический подход к по­строению теорий состоит в следующем: а) выделяются некоторые исходные, неопределяемые через другие понятия; все остальные понятия теории определяются через ранее уже определенные; б) выделяются некоторые исходные предложения, или аксиомы, истинность которых принимается без доказательства; все осталь­ные предложения теории — теоремы — логически выводятся или доказываются с использованием введенных понятий, ранее дока­занных фактов, теорем.
Отметим, что аксиоматический подход применяется для по­строения теории, о которой уже имеются определенные, сформи­рованные интуитивные представления. Иначе говоря, осуществ­ляется аксиоматизация уже имеющейся «предматематической теории».
Подход к построению теории натуральных чисел, берущий на­чало от Пеано, представляет собой определенный способ матема­тизации интуитивного представления о натуральном ряде.
Математизация этого интуитивного понятия приводит к опре­делению натурального ряда как некоторой структуры (T, 1,'), со­стоящей из: а) множества N, элементы которого называются нату­ральными числами; б) выделенного в этом множестве элемента, обозначаемого знаком 1 и называемого единицей; в) определенного в множестве ТУотношения «непосредственно следует за» (число, не­посредственно следующее за числом*, обозначим черезх\ т. е. если у непосредственно следует за х, то у=х'; у! «сосед справа» для х).
Натуральный ряд обладает следующими интуитивно ясными свойствами (принятыми Пеано в качестве аксиом, характеризу­ющих эту структуру).
I. Единица непосредственно не следует ни за каким натураль­ным числом, т. е. не является «правым соседом» никакого другого натурального числа, это «первое» натуральное число.
П. Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число, т. е. любое натуральное число имеет только одного «правого соседа».
III. Любое натуральное число непосредственно следует не бо­лее чем за одним натуральным числом, т. е. единица не следует ни за каким, всякое другое натуральное число — точно за одним.
Всякое натуральное число, кроме единицы, является «правым соседом» одного и только одного натурального числа, его «левого соседа».
I. Если какое-нибудь множество М натуральных чисел (Л/c/) содержит 1 и вместе с некоторым натуральным числом х содержит и натуральное число х1', непосредственно следующее за х, то это множество совпадает с множеством всех натуральных чисел (M=N).
Предложение I, хотя по своему содержанию более слож­но, чем первые три, также выражает достаточно простое свой­ство: с помощью последовательного прибавления единицы, на­чиная с единицы, можно получить все натуральные числа. Вся­кий раз, когда мы доходим до некоторого числа х, допускается возможность написания непосредственно следующего за ним числа х?.
Натуральный ряд в описанном представлении мыслится потенциально бесконечным. С этой точки зрения процесс его обра­зования незавершаем, предполагается лишь, что после каждого шага процесса мы располагаем возможностью осуществления сле­дующего шага.
Свойства I—I характеризуют структуру «натуральный ряд» только с точки зрения отношения ', названного «непосредствен­но следует за». Но это построение можно дополнить свойствами, характеризующими операции сложения и умножения в множе­стве N.
Расширим систему свойств I—I таким образом, чтобы полу­чить характеристику структуры (N, 1,', +, •).
Знак + обозначает операцию «сложение», сопоставляю­щую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х+у, называемое их суммой и обладающее следующими свойст­вами:
т. е. сумма любого натурального числа х с числом 1 равна непо­средственно следующему за х числу хЛ I. Х+у'=(х+у)',
т. е. сумма любого числа х с числом у', непосредственно следу­ющим за любым числом у, равна числу, непосредственно следу­ющему за суммой х+у.
Знак • обозначает операцию умножения, сопоставляющую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х»у, на­зываемое их произведением и обладающее следующими двумя свойствами: II.x»l=x,
т. е. произведение любого натурального числа х и числа 1 равно числу х (умножение какого-нибудь числа на единицу не меняет это число).
III. х»(У)=(х»у)+х, т. е. произведение числа х на число, непосредственно следующее за числом у, равно произведению чисел х и у, сложенному с чис­лом х.
Из свойств I—III выводятся все остальные свойства порядка и операций сложения и умножения натуральных чисел.
Покажем в качестве примера, как, исходя из перечисленных свойств, можно получить таблицу сложения.
Будем исходить из знания того, что непосредственно сле­дующее число за каждым однозначным числом уже получено:
Г=2; 2'=3; 3'=4; 4'=5; 5'=6; 6'=7; 7'=8; 8'=9; 9'=10.
Исходя из свойства , получаем таблицу «прибавления едини­цы»:
1 + 1=1'=2;
2+1=2'=3;
3+1=3'=4;

9+1=9'= 10.


Теперь, зная таблицу и используя свойство I, можем вывести, например, чему равно 2+2:
2+2=2+1'=(2+1)'=3'=4.
Аналогично 3+2=3+Г=(3+1)'=4'=5 и т. д.
Как видно, в описанном построении теории натуральных чисел основную роль играет операция (функция) прибавления единицы

/(х)=х+1,


сопоставляющая с каждым числом х непосредственно следующее за ним число х+1 (илихО- Эта идея используется в обучении счету маленьких детей.


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   24   25   26   27   28   29   30   31   ...   105




База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница