Математического развития


Отношением между элементами непустых множеств



страница24/105
Дата19.08.2022
Размер3,28 Mb.
#188491
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   ...   105
Связанные:
3 A Mikhaylova E D Nosova A A Stolyar

Отношением между элементами непустых множеств А и В на­зывается тройка множеств р=(Р, А, В), где P
Множество пар Р называется графиком отношения р.
Об элементах пары (х, у), принадлежащей графику Р, говорят, что они находятся в отношении р, и записывают это так: «хру».
Таким образом, записи «(х, у)е Р» или «хру» равносильны.
Если В—А, то р=(Р, А, А) называется отношением между эле­ментами множества А.
Свойства отношений
1. Отношение р на множестве А является рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении р с самим собой. Если же каждый элемент множества А не находится в этом отношении с самим собой, отношение обладает свойством антирефлексивности и называется антирефлексивным.
Среди уже перечисленных нами отношений рефлексивными являются: равно, не меньше, не больше, делит, делится на, равенство и подобие фигур; антирефлексивными являются отношения: нерав­но, меньше, больше между числами; предшествует, следует за между точками прямой. Отношение быть ровесником между людь­ми является рефлексивным, отношение же быть отцом, быть ма­терью, выше, старше, моложе — антирефлексивными. Отношение быть другом не является ни рефлексивным, ни антирефлексив­ным (бывают случаи, когда человек сам себе друг, и случаи, когда человек сам себе недруг).
2. Рассмотрим свойство: если а-b, то Ь=а, т. е. если пара (а, Ь)
находится в отношении равно, то и пара (Ь, а) находится в этом
отношении.
Таким свойством обладает, например, отношение быть ровес­ником: если х ровеснику, то у ровесник х. Это отношение обладает свойством симметричности и называется симметричным.
Не является симметричным, например, отношение старше: если х старше у, то неверно, что у старше х. Подобные отношения обладают свойством асимметричности и называются асиммет­ричными.
3. Несложно установить истинность следующих утверждений:
если х<у и y<z, то x<z;
если х=у и ущ, то x=z;
если х ровесник у и у ровесник z, то х ровесник z; если х старше у и у старше z, то х старше z; если а\\Ь и Ь\\с, то а\\с.
Однако если х — отец у и у — отец z, то z не есть отец z (он его дедушка); если х — друг у, а у — друг z, то вообще не известно, является ли х другом z.
Свойство отношения р—(Р, А, А), состоящее в том, что из хру и ypz следует xpz для любых х, y,z^A, называется транзитивностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — транзитивным.
Свойство отношения р, состоящее в том, что из хру и ypz сле­дует xpz для любых х, у, zЈ А, называется антитранзитивностью, а отношение р, обладающее этим свойством, — антитранзитив­ным.
Так, отношения меньше, равно, быть ровесником, старше, па­раллельно являются транзитивными. Отношение быть отцом яв­ляется антитранзитивным, а отношение быть другом не является ни транзитивным, ни антитранзитивным.


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   ...   105




База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница