Математические модели непрерывной системы



страница1/11
Дата20.04.2016
Размер0.86 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
  1. Математические модели непрерывной системы.


При описании систем будем использовать следующие обозначения:

  • - непрерывное время;

  • - вектор интегрируемых переменных (их также называют кординатами состояния);

  • - вектор искомых переменных в алгебраических уравнениях (их также часто называют «алгебраическими» переменными) с согласованными начальными значениями ;

  • - вектор параметров.

Рассмотрим различные формы представления математической модели непрерывной системы, которые непосредственно, без дополнительных преобразований поддерживаются в существующих программных реализациях численных методов, то есть являются «вычислимыми» формами.

Форма 1.1. Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных



Предполагается, что функция непрерывна по всем переменным в некоторой окрестности .

Форма 1.2. Система алгебраических уравнений

Предполагается, что функция непрерывна по всем переменным в некоторой окрестности и система является корректной, то есть:

1) система является правильно определенной, то есть число алгебраических переменных равно числу уравнений;

2) система является структурно невырожденной, то есть, каждой алгебраической переменной можно сопоставить уравнение, из которого ее можно определить.

Заметим, что корректность системы уравнений вовсе не означает отсутствия проблем при ее численном решении.

Форма 1.3. Система дифференциально-алгебраических уравнений, в которой дифференциальные уравнения первого порядка разрешены относительно производных



Такая система называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с ограничениями. Теоретически система путем дифференцирования алгебраического уравнения может быть сведена к системе дифференциальных уравнений. Однако, выполнить такое преобразование аналитически не всегда возможно и существует достаточное число апробированных численных методов, которые решают эту задачу в исходном виде.

Форма 1.4. Представление в виде передаточных функций.

Представление системы в виде передаточных функций характерно, какправило, для систем автоматического управления.

Модель системы строится на основе математических моделей элементов системы, задаваемых в базисе передаточных функций (ПФ). Передаточная функция системы есть отношение лапласова изображения выходной координаты к входной при нулевых начальных условиях и обозначается:

W(s) = Xвых(s)/Xвх(s).

Например:

,

где К и Т - параметры ПФ.

Схема соединения передаточных функций, описывающих элементы системы, называется ее структурой. Структура системы строится на основе базиса элементарных блоков.

Форма 1.5. Представление модели в пространстве состояний

Модели элементов системы записываются в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Для выходных сигналов составляются алгебраические уравнения от координат состояния. Это представление похоже на форму 1.3, но записывается относительно выходных переменных и также характерно для представления систем автоматического управления.

Пример модели, заданной в пространстве состояний в векторной форме:



,

где - вектор координат состояния ();



- вектор выходных координат;

-вектор управляющих координат;

, , и - матрицы системы, входа, выхода и прямой передачи соответственно;

n – число переменных состояния системы, m – число входов, r – число выходов.


    1. Использование уравнения Лагранжа II рода для получения уравнений динамики системы


Для получения уравнения динамики движущегося тела или системы материальных тел (в частности, для механических систем) используется метод уравнения Лагранжа II рода.

Уравнение Лагрвнжа II рода имеет вид:



,

где - функция Лагранжа, T и P - кинетическая и потенциальная энергия движущегося тела (или системы тел); ?i - момент обобщенных сил (моментов), действующих относительно в i-й обобщенной координаты (как правило эти силы (моменты) обусловленны работой приводов и воздействием внешних нагрузок); - обобщённые координаты - координаты, определяющие допустимые наложенными на систему связями положения механической системы и удовлетворяющие следующим требованиям: 1) числа в момент времени t находятся во взаимно однозначном соответствии с положениями, допустимыми связями; 2) координаты независимы - можно изменять одну из них при фиксированных других.

Чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа, необходимо вычислить кинетическую и потенциальную энергию системы.

Пример 1.



Рисунок


Для приведенного манипулятора введем обобщенные координаты:

.

Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергии:



, .



, , ,

,

,

, , ,

Запишем полученные уравнения:







Запишем полученные уравнения в векторно-матричном представлении:



,

где - матрица инерционных составляющих (масс и моментов инерции), - вектор кориолисовых и центробежных сил, - вектор гравитационных сил, - количество обобщенных координат.

В расмотренной модели приведенные матрицы имеют вид:

,

,

.

Для исследования модели используется ее обращение:



.

Полученная модель сложна для аналитического решения и, поэтому, для решения таких уравнений используются численные методы.



    1. Каталог: page
      page -> Выпускных квалификационных работ
      page -> Диплом ддн №013591 от 23. 04. 2010. Заместитель председателя диссертационного совета спбгут образование и трудовая деятельность
      page -> Ульяновской области
      page -> Проект Концепции областной целевой программы «Развитие информационного общества, использование информационных и коммуникационных технологий, снижение административных барьеров
      page -> Формирование
      page -> Образовательная программа высшего образования Направление подготовки 45. 03. 02 Лингвистика Профиль подготовки
      page -> Программа состоит из двух частей: I часть. Специальная психология II часть. Коррекционная педагогика


      Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница