Выполнение работы
1. Аналитическое решение СЛАУ
Решим систему (1) методом Крамера.
= -24.267
= 1
= 0
= 1
Решением системы являются значения: x = 1; y =0; z = .
2. Метод простых итераций
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений. Предположим, что диагональные элементы матрицы A не равны нулю, т.е (в случае равенства одного или нескольких из них нулю с помощью перестановки уравнений или других эквивалентных преобразований можно добиться, чтобы они были отличны от нуля). Разделив i-e уравнение системы , получим:
(2)
, где коэффициенты
Введем обозначения:
(3)
Тогда система (2) примет вид:
(4)
Систему (4) будем решать методом последовательных приближений. Начальные приближения выбираем произвольно.
Теорема. (необходимое и достаточное условие сходимости процесса итераций для системы линейных уравнений). Для сходимости процесса итераций при любом выборе начального приближения и при любом свободном члене необходимо и достаточно, чтобы собственные матрицы a (т.е. корни характеристического уравнения = 0) были по модулю меньше единицы.
Итерационный процесс заканчивается, если для двух приближений и выполнено условие , где – заданная точность.
Поделитесь с Вашими друзьями: |
