Курс лекций по дисциплине «Основы системного анализа и моделирование технологических процессов»



Pdf просмотр
страница34/73
Дата14.12.2022
Размер2,05 Mb.
#196822
ТипКурс лекций
1   ...   30   31   32   33   34   35   36   37   ...   73
Связанные:
Konspekt-lektsiy Osnovy-sistemnogo-analiza-i-modelirovanie-tekhnologicheskikh-protsessov
Практическое занятие №6
T
в некоторые фиксированные моменты
t
1
, t
2
,... наблюдаются значения функции f(t
1
), f(t
2
),... Требуется восстановить ее значение в другие моменты. Пусть из каких-либо соображений известен вид функции
f(t,a
1
,a
2
,..,a
m
)
, где
a
1
,
a
2
,…,
a
m
– неизвестные коэффициенты. Если коэффициенты определяются из условия совпадения
f(t)
в точках
t
1
, t
2
,... с данными наблюдений, то имеет место способ приближения, называемый интерполяцией. Ясно, что для вычисления параметров функции необходимо определенное число наблюдений
(измерений) в зависимости от вида искомой функции. Так, для определения

коэффициентов полинома n-ой степени необходимо (в детерминированном случае) не менее n+1 наблюдений.
Если вид функций заранее неизвестен, приходится прибегать к оценке выдвигаемых гипотез о виде функции. Поскольку обычно значения функций в точках наблюдения определяются с ошибками, возникает задача наилучшего в каком-либо смысле приближения к реальной зависимости при минимальном
(или заданном) числе измерений и конкретном виде (спектре) ошибок наблюдения. Проблема минимизации ошибок вычисления параметров искомой функции рассматривается в теории вероятностей. При этом необходимо учитывать наличие ошибок двух видов: систематических – следствие несовпадения выбранной аналитической функции реальной зависимости и случайных – результат ошибок единичных замеров, которые на интервале наблюдения могут иметь различный спектральный состав.
С целью снижения случайных составляющих увеличивается интервал наблюдения и количество измерений, но это далеко не всегда дает желаемый результат. Может оказаться, что на интервале наблюдения процесс не стационарен, т.е. аппроксимируемая функция на интервале наблюдения меняет свой вид, при этом появляется еще один источник систематических ошибок. Качество сглаживания случайных составляющих не однозначно связано с количеством измерений на интервале наблюдения, поскольку зависит от спектрального состава ошибок измерения. Для учета различных обстоятельств разработаны специальные алгоритмы.
Продолжение полученной в результате приближения функции за пределы интервала наблюдения называется экстраполяцией. Известно, что всякое научное представление есть экстраполяция (с наблюдаемых ситуаций на ненаблюдаемые, с измеренных величин на неизмеренные и т.д.).
Систематическое использование методов экстраполяции может служить признаком зрелости той или иной области знаний как науки. Задача экстраполяции значительно, порой принципиально, усложняется, если на интервале экстраполяции условия существования системы меняются.
Прогнозирование можно рассматривать как расширение понятия экстраполяции на общий случай существования системы в будущем, в том числе, когда условия существования системы – характер экзогенных переменных на интервале экстраполяции изменяется, что может привести к изменению целей и структуры системы. В таком случае классические методы экстраполяции – продолжение подобранной на интервале наблюдения аналитической зависимости на время экстраполяции – приводят к неверным результатам и выводам.


Задача подбора функций и отношений между экзогенными и эндогенными переменными в общем случае статистическая. Для прогноза поведения системы на заданном интервале необходима гипотеза относительно релевантных факторов, воздействующих на систему на этом интервале.
Если релевантные факторы на интервалах наблюдения и прогноза неизменны, то могут быть найдены устойчивые (неизменные для этих интервалов) зависимости – «тренды». Будет иметь место так называемое прогнозирование «от прошлого к будущему». В настоящее время темпы изменения производительных сил настолько высоки, что гипотеза о неизменности релевантных факторов, определяющих поведение системы, оказывается чаще неверной как для интервала наблюдения, так и интервала прогноза. Вместе с тем взаимосвязь систем в мире стала столь тесной, что состояние и развитие конкретной системы невозможно рассматривать вне этих связей. Вероятностные связи усложнились, вид и число неопределенностей возросли. В этих условиях потребовалось перейти к так называемому прогнозированию «от настоящего к будущему». При этом в результате наблюдения системы отправными для прогноза полагаются значения параметров системы в конце интервала наблюдения – текущие значения. Для прогноза изменения параметров в будущем выдвигаются гипотезы относительно окружающей среды, релевантных факторов, влияющих на поведение системы, экзогенных переменных, реализующих это влияние.
Прогноз имеет вариантный характер, и только в лучшем случае удается выявить все возможные варианты развития системы и дать им вероятностные оценки.
Линейность и нелинейность
Приведем некоторые высказывания, предостерегающие от необоснованного пренебрежения нелинейностями.
«Мир, в котором мы живем, удивительно нелинеен. Конечно, это делает нашу жизнь сложнее, но зато интереснее, перспективнее, освобождает нас от чувства монотонности, вселяет в нас оптимизм. Ловушкой при математическом моделировании является пристрастие человека к линейности.
Это особенно проявляется в тех случаях, когда соответствующие гипотезы и допущения сформулированы заранее. Представление о линейности мира привело к тому, что большинство аналитических методов, которым отдавалось предпочтение в прошлом, основано на использовании линейных систем уравнений. Ошибки и искажения возникают часто исключительно по этой причине».
Необходимо помнить эти предостережения. В то же время следует иметь в виду, что методы исследования линейных систем очень развиты и

обоснованное применение линейной модели для нелинейной системы часто оказывается весьма эффективным. Линейная модель полезна в начале цепочки моделей, последовательно приближающихся к модели с требуемой адекватностью. Линейная модель часто позволяет сразу получить оценку порядка значений выходных переменных. Иногда нелинейную задачу удается просто свести к последовательности линейных моделей. Линеаризацией нелинейной задачи (например, методом «замораживания коэффициентов») можно получить линейную модель для достаточно корректной оценки воздействия на систему малых возмущений.
Вопрос о возможности и целесообразности перехода от нелинейности к линейности решается в каждой задаче конкретно на рациональном уровне.
Дискретность и непрерывность
Вне зависимости от характера исследуемой системы может оказаться более предпочтительной дискретная или непрерывная модель. Для исследования сложных систем зачастую требуется создание аналого- цифровой модели. Решение о дискретности или непрерывности модели принимается на этапе постановки задачи также на рациональном уровне.
Детерминированность и случайность
Все реальные процессы носят в той или иной степени стохастический характер. При решении одних задач случайные составляющие практически не влияют на результат и в модели не учитываются. В других задачах решение может быть получено только при учете случайных составляющих или различных неопределенностей и соответствующие математические методы закладываются в модель. Достаточность детерминированной модели или необходимость создания стохастической модели иногда очевидна, иногда переход к стохастической модели происходит вследствие неудовлетворенности результатами, полученными на детерминированной модели.
Планирование эксперимента
При планировании экспериментов ставится задача обеспечить достижение цели исследования при минимальных затратах ресурсов всех видов. Трудности получения необходимой достоверности результатов связана

с наличием помех различного рода, в том числе ошибок измерения входной информации.
При планировании вычислительного эксперимента необходимо, как минимум, определить область существования параметров и переменных, оценить хотя бы качественно или грубо количественно влияние изменения всех параметров и переменных на исходы модели и выбранные критерии качества решения задачи, подобрать примеры для анализа зависимостей исходов модели от параметров модели и входных переменных. Если модель статистическая, необходимо принять решение о том, как будет задаваться входная информация и порядок обработки исходов. С учетом этих соображений разрабатывается методика проведения эксперимента, включающая порядок проведения частных экспериментов и количество испытаний в каждом частном эксперименте, порядок обработки результатов, способы контроля течения эксперимента и порядок его корректировки в зависимости от промежуточных и конечных результатов.
Различают стратегическое и тактическое планирование.
Стратегическое планирование имеет целью создание общего плана эксперимента, экономного с точки зрения потребных ресурсов и соответственно предусматривающего разумную последовательность частных экспериментов и промежуточных проверок, а также создание структурной основы для обучения самого исследователя.
Тактическое планирование связано с решением задач двух типов:
1) определение начальных условий в той мере, в какой они влияют на достижение установившегося режима, минимизацию потерь на переходной режим;
2) минимизация дисперсии исходов при одновременном уменьшении, по возможности, объема выборок.
В теории планирования эксперимента модельные переменные разделяются на «факторы» и «отклики». Термин «фактор» эквивалентен терминам «входная переменная», «экзогенная переменная», а «отклик» – терминам «зависимая переменная», «выходная переменная», «эндогенная переменная».
Планирование экспериментов получило вначале распространение в биологии, сельском хозяйстве, где термины «отклик»,
«фактор» были понятны практикам.
Несмотря на развитую теорию планирования экспериментов, наиболее полное достижение целей планирования в значительной степени зависит от наличия соответствующего опыта у исследователя, так как планирование эксперимента в какой-то мере является искусством.


Проверка модели
Модель необходимо проверять (испытывать) постоянно с момента ее создания до получения требуемого результата. До начала эксперимента модель необходимо испытать в целом, что является последним этапом разработки модели.
Испытание проводится с целью:
1) выявления правдоподобия модели в 1-м приближении, «качественно», чтобы убедиться, что модель ведет себя, как и предполагалось, т.е. существует качественное соответствие между поведением моделируемой системы и модели, в том числе совпадают порядок их исходов, а также поведение и результаты в «крайних» ситуациях;
2) проверки количественной адекватности – точности преобразования информации, что достигается калибровкой модели. Калибровкой модели называется определение (уточнение) коэффициентов модели – коэффициентов отношений, связывающих экзогенные и эндогенные переменные модели.
Калибровка осуществляется путем сравнения результатов, полученных на моделях, с результатами, получаемыми при испытаниях реальной системы, или с результатами аналитических расчетов, для чего используются эталонные примеры и задачи. Модель системы в целом проверяется так называемыми эталонными задачами, охватывающими все свойства модели. Однако целесообразно структурировать задачу – построить такую совокупность примеров, чтобы с помощью одного примера охватить только какую-то часть модельных зависимостей и определить часть коэффициентов.
Одной из задач испытания является проверка модели на чувствительность, т.е. насколько исходы модели чувствительны к изменению входных переменных.
В общем случае испытание и калибровка модели – задача статистическая, т.е. задача проблемного анализа – формирования статистически значимых выводов на основе данных, полученных на модели.
При испытаниях широко применяются такие статистические методы, как регрессионный, корреляционный и дисперсионный анализы. Важно помнить, что статистические методы могут привести к неверным результатам, если исследователь не имеет ясного представления о моделируемой системе и характеристиках используемой информации. Для обеспечения адекватности модели предусматриваются при ее разработке и эксплуатации следующие виды контроля:
1) контроль размерностей: сравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности;


2) контроль порядков: выделение основных и уточняющих слагаемых;
3) контроль характера зависимостей между переменными: выявление качественного совпадения вида модельных зависимостей с видом аналогичных зависимостей в реальной системе;
4) контроль экстремальных ситуаций: в подобных ситуациях поведение модели должно совпадать с поведением системы в аналогичных ситуациях
(поведение системы в экстремальных ситуациях часто легко оценивается);
5) контроль граничных условий: на границе функции должны принимать определенные значения;
6) контроль математической замкнутости: выяснение имеет ли задача решение в том виде как она записана в модели;
7) контроль устойчивости модели;
8) контроль соответствия значений переменных их физическому смыслу: знаки и величины переменных модели не должны противоречить возможным значениям моделируемых физических величин.
Поскольку испытания моделей сложных систем связаны с существенными затратами, необходимо к планированию испытаний относиться предельно строго.
Результаты испытаний, в конечном счете, должны обеспечить необходимый уровень адекватности модели на всех этапах ее использования.
При обоснованном выборе тестовых примеров и эталонных задач эта задача решается при минимальных затратах средств и ресурсов.
3.11. Анализ результатов и внедрение рекомендаций
Целью анализа результатов вычислительного эксперимента является выяснение, решена ли поставленная задача на должном уровне корректности, и формулировка выводов (рекомендаций), вытекающих из результатов исследований.
При анализе результатов необходимо:
1) убедиться, что результаты эксперимента полностью понятны, как качественно, т.е. не противоречат здравому смыслу, так и количественно. Если здравый смысл не согласуется с исходами эксперимента, необходимо его
«поправить», т.е. попытаться объяснить полученные исходы. Если это не удастся, следует запланировать дополнительные исследования для уяснения и подтверждения результатов;
2) вернуться к сделанным допущениям. Уточнить возможные влияния допущения на результат. При необходимости также провести дополнительные эксперименты;


3) оценить точность полученных результатов. Если подобные оценки заранее не были запланированы, следует их сделать. Убедиться, что точность результатов достаточна для выработки рекомендаций, принятия решения.
При трактовке результатов опираться в возможно максимальной степени на идею «соревнования моделей» (использование моделей различного типа и сравнение исходов этих моделей), в том числе на сравнение исходов
«точных» моделей с результатами «грубых» аналитических расчетов.
Анализ результатов моделирования может завершиться выработкой рекомендаций по существу решаемой задачи, однако возможна неудовлетворенность результатами и подготовка предложений по проведению дополнительных испытаний или уточнению модели. Не исключается и вывод о непригодности модели вследствие ее неадекватности исследуемой системе или невозможности проведения на модели необходимого для получения обоснованных выводов объема испытаний. Все результаты анализа должны представляться в удобном для использования виде. Главное, о чем необходимо помнить, что при моделировании исследуется реальная система, т.е. модель не самоцель.
Внедрение принятых рекомендаций, полученных на модели, должно происходить при участии лиц, проводивших модельный эксперимент. Только в процессе реализации рекомендаций становится до конца ясным, насколько адекватной была модель, насколько корректно был проведен вычислительный эксперимент и обоснованы рекомендации. И только при участии исследователей возможно наиболее грамотно реализовать рекомендации, убедиться в их справедливости, а в противном случае своевременно выявить недостаточность или ошибочность рекомендаций и ввести необходимые коррективы. Процесс реализации рекомендаций должен быть управляемым, для чего необходимо предусмотреть оперативную обратную связь.
Запланированное участие исследователей в реализации полученных рекомендаций обеспечит более ответственное отношение всех лиц, участвующих в исследовании, к организации исследований.
Использование ЭВМ в моделях.
В математических моделях используются цифровые ЭВМ, аналоговые
ЭВМ, комбинированные (гибридные) вычислительные комплексы.
В цифровых ЭВМ все величины записываются в цифровом виде.
Точность таких ЭВМ зависит главным образом от объема регистров памяти, количества значащих числовых разрядов и выбранных вычислительных методов. Время решения сложной задачи зависит от сложности задачи и

требуемой точности решения. Данные могут храниться в памяти цифровых
ЭВМ неограниченное время. Успешно реализуются в цифровых ЭВМ различные логические операции. Трудности применения цифровых ЭВМ связаны с тем, что в сложных задачах не всегда удается получить адекватную цифровую модель, а иногда, когда такую модель получить можно, ее использование потребует недопустимо большого времени.
Область успешного применения цифровых ЭВМ непрерывно по мере совершенствования вычислительной техники расширяется. Например, длительное время в качестве недостатка таких ЭВМ отмечалась невозможность одновременного выполнения нескольких операций. Этот недостаток устранен созданием параллельно работающих вычислителей.
В аналоговых ЭВМ возможно выполнение операций в реальном масштабе времени, простое подключение к модели реальной аппаратуры.
Точность аналоговых моделей ограничена качеством компонент электрических элементов модели. Имеются также ограничения в части возможностей накопления и хранения информации и моделирования логических операций.
В гибридных ЭВМ появляется возможность объединения преимуществ цифровых и аналоговых ЭВМ. На аналогово-цифровых комплексах можно анализировать сложнейшие системы, решать задачи синтеза систем, поиска оптимальных управлений, относительно просто обеспечивается включение в модель реальной системы или ее подсистем.
Примером использования ЭВМ для решения весьма сложных задач может служить вычислительный комплекс, названный имитационной системой (ИС), который был создан в 70-е годы в ВЦ АН СССР.
Использование подобного комплекса позволило коллективу исследователей под руководством академика Н.Н.Моисеева получить оценку последствий одновременного подрыва большего числа ядерных зарядов.
ИС включает следующие три части:
1) имитационную модель системы (процесса) вместе с программой
(совокупностью программ), реализуемых на ЭВМ;
2) внешнее математическое обеспечение ИС – совокупность упрощенных моделей системы (процесса) или ее отдельных частей и алгоритмов, позволяющих решать задачи оптимизации и выбора управлений;
3) внутреннее математическое обеспечение ИС – совокупность программ, реализующих в должной степени удобство общения с ЭВМ в процессе проведения эксперимента.
Приведенный состав ИС следует, очевидно, полагать обязательным для моделей, создаваемых для решения наиболее сложных задач.


Успешное применение ЭВМ в управлении социально-экономическими системами в настоящее время сдерживается из-за непонимания со стороны управленцев возможностей ЭВМ по решению сложных задач и неумения подобные задачи осмыслить и поставить для решения на ЭВМ.
Определенные достижения имеют место в автоматизации рутинных расчетов, ранее выполняемых вручную, например, в бухгалтерии, при создании информационно-справочных систем различного назначения, в издательском деле, в ряде случаев при планировании и контроле различных аспектов производственной деятельности.
Измерительные шкалы
При проведении исследований всегда необходимо точно представлять, какая измерительная шкала может быть использована при измерении (оценке) наблюдаемых величин (явлений, процессов, объектов).
Измерение – это операция, которая ставит в соответствие наблюдаемому явлению определенные обозначения: числа, номера, символы. При этом должны быть соблюдены следующее условие: различным состояниям явления соответствуют различные обозначения, не различным – одинаковые.
В зависимости от вида (характера) измеряемого явления используются следующие шкалы:
1.


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   30   31   32   33   34   35   36   37   ...   73




База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2023
обратиться к администрации

    Главная страница