Комитет по образованию и науке г


§3.2 Кривые постоянной ширины, дающие при вращении фигуру наибольшей площади



страница9/9
Дата28.08.2019
Размер0,6 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

§3.2 Кривые постоянной ширины, дающие при вращении фигуру наибольшей площади.
Постановка задачи.

В предыдущем параграфе было рассмотрено вращение кривой постоянной ширины внутри квадрата. Очевидно, что при вращении будет получаться фигура наибольшей площади только в том случае, когда кривая наиболее близко «приблизится» к вершине квадрата, описанного около нее. А это будет выполняться в том случае, когда расстояние от точки В до соответствующей вершины квадрата будет наименьшим (рис 14). А это напрямую зависит от количества дуг, составляющих кривую.

Поэтому мы можем перейти к эквивалентной задаче:

При каком количестве дуг кривой постоянной ширины при вращении расстояние от вершины до соответствующей вершины квадрата будет наименьшим?



Нахождение дополнительных параметров.

рис.14
Пусть b – ширина данной кривой. N – количество дуг кривой.

На рисунке 14 приведен пример для кривой с 5 дугами. Рассуждения проводятся для кривой с числом дуг n.

Проведём из вершины А диаметр в точку В. Тем самым получаем в общем случае многоугольник Ф со сторонами А,В, ,С (на рисунке треугольник АВС) с количеством сторон n, где



В многоугольнике Ф 2 угла равных α и n-2 углов равных β. Найдем зависимость величины α от количества дуг кривой:



Где первое слагаемое – сумма всех углов многоугольника Ф, а второе – сумма углов равных β. Преобразовав выражение, получаем:



По построению:



Рассмотрим треугольник ABD ( для кривой в общем виде это будет треугольник, образованный вершиной и двумя ей противоположными, две из которых являются первой и последней вершинами многоугольника Ф). Найдем зависимость длины стороны AD от количества дуг кривой. По теореме косинусов имеем:





В дальнейшем будем обозначать эту величину l .


Нахождение функции расстояния.
Проведем диагональ квадрата AD. Составим функцию расстояния между точками С и D в зависимости от количества дуг кривой. Пусть сторона квадрата равна b.

рис.15
Рассмотрим треугольник АА1А2 (рис 15):




  1. А1АА2 прямой, как угол при вершине квадрата;

  2. А1А=А2А, из симметрии относительно отрезка AD;

  3. треугольник АА1А2 равнобедренный, с основанием А1А2;

  4. АА1А2= АА2А1=π/4, как углы при основании равнобедр. треугольника;

Рассмотрим треугольник АBА1:



  1. ВАА1= π/4, так как AD – биссектриса угла А;

  2. треугольник АВА1 равнобедренный, с основанием АА1 из равенства углов ВАА1= АА1В= π/4 ;

  3. АВ=ВА1, как стороны равнобедренного треугольника;

  4. AB= ВА1= = , из симметрии относительно отрезка AD;

  5. АBА1= π – ( ВАА1+ АА1В)=

Рассмотрим треугольник А1BC:



  1. А1BC= π – A1BA= , как смежные и дополняющие друг друга до развернутого угла;

  2. ВСА1= ВСА2 = А1СА2/2=δ/2, из симметрии относительно отрезка AD;

  3. BC= ;

Рассмотрим диагональ квадрата AD:



  1. AD= ;

  2. AD=AB+BC+CD

Тогда

CD=AD-AB-BC= - - ;

Введем функцию натурального аргумента f(N) расстояния между точками C и D, где N-число дуг кривой постоянной ширины. ;

Область определения функции f(N):



: , ;

Найдем при каком значении N( числа дуг кривой) функция принимает наименьшее значение. Рассмотрим функцию f(N) на множестве положительных действительных чисел, начиная с 3 ( так как число сторон кривой не может быть меньше трех). Для нахождения ее наименьшего значения найдем первую производную.



;

Для всех положительных N : в силу убывания функции у=cos(x) в первой четверти и в силу возрастания функции у= sin(x) в первой четверти. Это значит, что для всех допустимых значениях N первая производная положительна. Значит и при всех N первая производная положительна.





;

Функция f(N) монотонно возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при N=3.


Это значит, что при вращении внутри квадрата будет получаться фигура, наиболее близкая к квадрату, если число дуг кривой равно трем, т.е. это будет треугольник Рело. Полученный факт показывает, почему сверла для сверления почти квадратных отверстий в поперечном сечении делают в виде треугольника Рело.

Заключение


Кривые постоянной ширины – это очень необычный класс кривых с неожиданными свойствами. В работе рассмотрены некоторые вопросы, связанные с кривыми постоянной ширины. В частности рассмотрен вопрос о сложении двух кривых по правилу Минковского. Написана программа, реализующая сложение кривых по данному правилу. В процессе написания программы выведены интересные закономерности сложения двух кривых постоянной ширины. В работе подробно описывается теоретическое обоснование написанной программы.

Свойства кривых постоянной ширины активно используются в промышленности. Оказывается, что сверло с поперечным сечением в виде кривой постоянной ширины высверливают почти квадратное отверстие. В работе дается ответ на вопрос: «Какую из кривых постоянной ширины надо выбрать в качестве сечения сверла, чтобы получилось отверстие по форме наиболее близкое к квадрату?” В главе 3 дается ответ на поставленный вопрос.

В работе получены интересные математические закономерности, приведены собственные доказательства некоторых свойств кривых постоянной ширины.

Список литературы




    1. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Выпуклые фигуры.-М., 1951.

    2. Гарднер Мартин. Математические досуги. - М., 1972

    3. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления.-М, 1961.





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница