Комитет по образованию и науке г


§2.3. Суммирование кривых постоянной ширины по правилу Минковского



страница7/9
Дата28.08.2019
Размер0,6 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9
§2.3. Суммирование кривых постоянной ширины по правилу Минковского.
Метод суммирования кривых постоянной ширины был разработан Минковским . Выберем на плоскости точку О и назовем ее началом отсчета. Пусть теперь Ф1 и Ф2- две ограниченные плоские выпуклые фигуры, границами которых служат выпуклые кривые К1 и К2; О- произвольная точка плоскости, которую мы примем за начало отсчета. Рассмотрим всевозможные суммы А12, где А1 и А2 – произвольные (внутренние или граничные) точки фигур Ф1 и Ф2 . Точки А12 заполняют некоторую фигуру Ф, которую мы будем называть суммой двух фигур Ф1 2 . Границу фигуры Ф1 2 мы будем называть суммой кривых К1и К2 и обозначать К12 .Сложение точек ведется по правилу параллелограмма. Доказано, что сумма выпуклых фигур или выпуклых кривых есть также выпуклая фигура, соответственно выпуклая кривая. [1,52]
Для кривых постоянной ширины эта задача формулируется так:
Сумма двух фигур (кривых) постоянной ширины есть также фигура (кривая) постоянной ширины.
Данная задача была решена двумя способами: теоретически и с помощью компьютерной программы, которая складывает две фигуры по правилу Минковского.

Теоретическое решение.
Пусть К1 –кривая постоянной ширины, l1 и l1её две параллельные опорные прямые, А1 и А1 – их точки соприкосновения с кривой; точно так же К2 – другая кривая, l2 и l2 – две её опорные прямые, параллельные прямым l1 и l1, А2 и А2 – их точки соприкосновения с кривой К2 (рис.10 ).

рис.10
Рассмотрим сумму К=К12 этих двух кривых; опорные прямые кривой К12, параллельные прямым l1, l1, l2 , l2, обозначим через l и l, а точки их соприкосновения с кривой К12 – через A и А:


А=А12, А= А1+ А2
Проведём отрезок А1М, равный и параллельный отрезку OA2, и через точку М проведём прямую lо, параллельную всем шести опорным прямым.

Четырёхугольник А1 А1АМ есть параллелограмм (так как отрезок А1М равен и параллелен ОА2, равен и параллелен А1А), значит, отрезок АМ равен и параллелен отрезку А1 А1. Отсюда следует, что расстояние между прямыми l и lo равно расстоянию между прямыми l1 и l1, т.е. ширине h1 кривой К1 в направлении, перпендикулярном ко всем проведённым опорным прямым.

Аналогично, отрезок МА равен и параллелен отрезку А2 А2 (ибо треугольники А1М А и О А2 А2 равны), и поэтому расстояние между прямыми l и lo равно расстоянию между прямыми l2 и l2, т.е. ширине h2 кривой К2 в указанном направлении. Но ширина h кривой К12 в направлении, которое мы рассматриваем, равна сумме расстояний между прямыми l и lо и между прямыми lо и l, т.е. она равна сумме h1+ h2.

То есть при сложении двух кривых постоянной ширины получается новая кривая постоянной ширины, равной сумме ширин слагаемых.



Реализация сложения кривых по правилу Минковского с помощью компьютерной программы.

Для сложения двух фигур постоянной ширины требуется перебрать все точки одной фигуры, складывая их координаты с координатами точек второго слагаемого. Результатом каждого сложения являются координаты точек новой фигуры. Геометрическое место получающихся точек и будет результатом сложения двух фигур.

При решении данной задачи проверялось утверждение, полученное в предыдущем пункте: результатом суммирования двух кривых постоянной ширины является новая кривая постоянной ширины, причём её ширина равна сумме ширин слагаемых.

Для решения задачи была написана программа. Её основные принципы:



  • Кривая представлялась (задавалась) в виде массива точек

  • Координаты точек считались по следующим формулам:

где в – ширина кривой; , - координаты центра дуги, i – аргумент,

подбирающийся в зависимости от количества дуг


  • Суммирование производилось последовательным перебором элементов первого массива и складыванием их со всеми элементами второго массива

  • Добавлена возможность просмотра координат точки местоположения указателя мыши

  • Результат сложения выводится на экран через PaintBox, добавлена возможность масштабирования окна вывода.

Гипотеза, взятая на рассмотрение, подтвердилась. Пример – сумма треугольника Рело и кривой в 5 дуг (рис.11):


рис.11

Также в процессе работы над программой были обнаружены следующие свойства сложения кривых постоянной ширины:


  • При сложении кривой постоянной ширины с такой же по форме, равной по ширине и повернутой на 180 градусов получается круг. Пример – сумма двух кривых в 5 дуг(рис.12):



рис.12



  • При сложении двух одинаковых кривых получается фигура той же формы, с удвоенной шириной

  • При сложении одинаковых по форме, разных по ширине, отображённых кривых получается

фигура с отверстием в виде кривой той же формы, шириной равной разнице между ширинами слагаемых. Пример – сумма двух треугольников Рело (рис.13):

рис.13.


Площадь слоя считается по выведенным выше формулам.

  • Результат не зависит от порядка слагаемых

  • Результат не зависит от местоположения кривых



При сложении кривых с окружностью получается следующее:


  • если окружность и кривая равны по ширине, то в результате сложения – фигура одинаковая по форме с кривой. Пример – сумма треугольника Рело и окружности (рис.14):

рис.14



  • если окружность и кривая имеют разную ширину, то результатом сложения будет фигура одинаковая по форме с кривой, с отверстием в форме кривой, ширины равной разности ширины окружности и кривой.

Пример – сумма кривой в 7 дуг и окружности (рис.15):




рис.15




Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница