Комитет по образованию и науке г


§1.2. Примеры кривых постоянной ширины



страница3/9
Дата28.08.2019
Размер0,6 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9
§1.2. Примеры кривых постоянной ширины

Исходя из треугольника Рело, нетрудно построить и новые примеры кривых постоянной ширины. Рассмотрим опять равносторонний треугольник со стороной длины h. Из каждой вершины треугольника внутри соответствующего ей угла проведем по дуге радиуса p>h; концы полученных трех дуг соединим меньшими дугами радиуса р '=ph (р+р '= Н) с центрами в вершинах треугольника (Рис. 3). Из каждых двух параллельных опорных прямых полученной кривой одна касается дуги большей окружности, а вторая—дуги меньшей окружности с тем же центром; отсюда видно, что эта кривая имеет постоянную ширину, равную Я.

Если провести к кривой постоянной ширины h две пары параллельных между собой опорных прямых так, чтобы прямые одной пары были перпендикулярны к прямым второй пары, то у нас получится квадрат со стороной h. Таким образом, вокруг кривой постоянной ширины можно



описать квадрат со стороной h с произвольным направлением, сторон (Рис.4,а). Иначе это можно выразить, говоря, что квадрат можно свободно вращать так, чтобы он всё время оставался описанным вокруг заданной кривой постоянной ширины. Или другими словами, кривую постоянной ширины можно свободно вращать внутри квадрата так, чтобы она все время

плотно ее прикасалась со сторонами квадрата



( оставалась вписанной в квадрат; см. Рис. 4, б).

Очевидно, что это свойство вполне характеризует





Рис.3

кривые постоянной ширины.

Рис. 4


Лежащая в основе многоугольника Рело конструктивная идея, согласно которой дуги окружностей равного радиуса располагаются так, что каждой вершине противолежит некоторая описанная из этой вершины дуга, может быть реализована самыми разнообразными способами. Некоторую точку B плоскости фиксируют как вершину, и из нее радиусом, равным b, описывают дугу окружности. На этой дуге берут две новые точки А и С. Дуга радиуса b, описанная из С, пройдет через В, так как ВС = b, согласно только что выполненному построению. Некоторую точку D на этой дуге принимают за новую вершину. Дуга радиуса b, описанная из D пройдет через С. Чтобы возникающую в таком построении фигуру сделать замкнутой, новую вершину Е нужно взять на этой дуге не произвольно, а так, чтобы она одновременно лежала и на дуге, описанной из точки А радиусом b и проходящей через В; иначе говоря, эта вершина должна определяться пересечением двух дуг. Таким путем получается пятиугольный дуговой многоугольник ADBEC постоянной ширины (Рис. 5, а). Путем повторения аналогичных построений можно получить многоугольники и с большим числом вершин, также являющиеся кривыми постоянной ширины.




На рис. 5, б) показан подобного рода семиугольник. Из того, что против каждой вершины лежит дуга радиуса b с центром в этой вершине, непо-средственно следует, что в результате описанного построения должны получаться многоугольники постоянной ширины. Для некоторых дальнейших применений соединим радиусами каждую вершину этого дугового многоугольнике с двумя вершинами противолежащей дуги. В результате внутри нашего дугового многоугольника образуется прямолинейный многоугольник с равными взаимно пересекающимися фонами. В каждой вершине стороны этого многоугольника образуют центральный угол противолежащей дуги.




Построенные описанным приемом дуговые многоугольники всегда имеют нечетное число сторон. Действительно, отметим какую-либо вершину противолежащую ей сторону и будем, начиная с этой вершины, обходить дуговой многоугольник вдоль его периметра. Мы пройдем при этом сначала одну сторону, потом вершину, потом опять сторону и снова вершину и т.д., т не достигнем вершины, непосредственно предшествующей отмеченной ранее стороне. Всего на этом пути между отмеченной вершиной и отмеченной стороной окажется столько же вершин, сколько и сторон; положим, что тех и других будет по п. Но этот переход от отмеченной вершины к отмеченной стороне можно совершить и иначе, начиная движение отмеченной вершины в противоположном первоначальному направлении. При этом мы также пройдем п сторон и п вершин, так как против каждой стороны первого маршрута лежит вершина второго маршрута, против каждой вершины первого — сторона второго. К этому нужно присоединить еще отмеченную вершину и отмеченную сторону; в общем, таким образом, у нас получится

2п + 1 вершин и столько же сторон.

Исходя из рассмотренных выше дуговых многоугольников, имеющих вершины, можно построить также и кривые постоянной ширины без вершин.

С этой целью построим кривую, параллельную данному дуговому многоугольнику и расположенную вне его на расстоянии b ( рис. 6 а,б,в).

Это легко выполнить с помощью начерченного нами диагонального многоугольника. Для этого просто увеличивают радиус каждой дуги на одну и ту же величину d, оставляя прежний центр. Вершина первоначального дугового многоугольника, которую можно рассматривать как дугу радиуса, равного нулю, заменяется в новой кривой дугой радиуса d. Возникающая таким образом кривая составляется из нечетного числа дуг двух различных радиусов. Две дуги различных радиусов имеют одну общую точку (соответствующую вершине основной кривой).

Наконец, можно прийти и к более общим типам дуговых многоугольников постоянной ширины, если допустить, что число различных радиусов больше двух, и сохранить принцип построения только что начерченных фигур, состоящий в том, чтобы противолежащие дуги были описаны из одногоцентра и опирались на одинаковые центральные углы.

Приведенный способ построения дает нам бесчисленное множество кривых постоянной ширины. Все эти кривые отличаются, однако, той особенностью, что они составлены исключительно из дуг окружностей. Во избежание недоразумений здесь же отметить, что существуют и такие кривые постоянной ширины, в которых даже самая ничтожная дуга не принадлежит окружности.




Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9


База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2019
обратиться к администрации

    Главная страница