«Изучение научных проблем, решенных великим швейцарски математиком Леонардом Эйлером»



Скачать 66,12 Kb.
страница5/6
Дата26.10.2021
Размер66,12 Kb.
#174150
1   2   3   4   5   6
Связанные:
Izuchenie nauchnykh problem reshennykh velikim shveytsarski matematikom Leonardom Eylerom 2

4. Формула Эйлера

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:


eix = cos x + i*sin x
где e - основание натурального логарифма, i - мнимая единица.

Тривиально доказывается с использованием ряда Маклорена из начала данной работы:



Но


Откуда eix = cos x + isin x, что и требовалось доказать.


Формула Эйлера впервые была приведена в книге «Гармония мер» английского математика, помощника Ньютона, Роджера Котса (1722 год, издана посмертно). Котс открыл формулу около 1714 года и выразил её в логарифмической форме:
ln(cosx + isinx) = ix
Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя.

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число z в тригонометрической форме имеет вид
z = r(cosφ + isinφ)
На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:
z = re
Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь
r = |z|, φ = arg z
Из формулы Эйлера при x = π получаем тождество

В 1988 году, математик Дэвид Уэллс, писавший статьи для американского математического журнала The Mathematical Intelligencer, составил список из 24 теорем математики и провёл опрос, попросив читателей своей статьи выбрать самую красивую теорему. И после того, как с большим отрывом в нём выиграло уравнение Эйлера, оно получило звание «самого красивого уравнения в математике».

Математик Майкл Атья назвал эту формулу "…математическим аналогом фразы Гамлета — «быть или не быть» — очень короткой, очень сжатой, и в то же время очень глубокой".

И хотя сам Эйлер никогда не записывал это тождество в таком явном виде, именно он воспользовался тремя фундаментальными константами математики и применил математические операции умножения и возведения в степень, чтобы записать красивую формулу, дающую в результате ноль или минус один.



  • Константа e связана со степенными функциями.

  • Константа i является не вещественным, а мнимым числом, равным квадратному корню из минус единицы.

  • Знаменитая константа π связана с окружностями.

И эта связь удивительна, ведь степенная функция стремится к бесконечности, а тригонометрические функции колеблются в интервале от 1 до -1. Важность данного открытия переоценить сложно, ведь именно она связывает многие, казалось бы не связанные дисциплины математики в единое целое.

Скачать 66,12 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6




База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница