«Изучение научных проблем, решенных великим швейцарски математиком Леонардом Эйлером»



Скачать 66,12 Kb.
страница4/6
Дата26.10.2021
Размер66,12 Kb.
#174150
1   2   3   4   5   6
Связанные:
Izuchenie nauchnykh problem reshennykh velikim shveytsarski matematikom Leonardom Eylerom 2

3. Обобщение Эйлером теоремы Ферма
В последней статье Эйлер обобщил теорему Ферма, установив (в обозначениях, ведущих свое происхождение от Гаусса), что
aφ(m) ≡ 1 (mod m),
где φ(m) есть число чисел, взаимно простых с m и меньших m. Встречающееся здесь число φ (m), которое по предложению Гаусса называют теперь «функцией Эйлера», последний представил в той же работе в виде
φ (m)=m(1-1/p) (1-1/p,)…,
где р, p,,… - простые делители числа m. Если m само есть простое число, то числа 1, 2, 3,..., (р - 1) будут с ним взаимно простыми, и получается важная теорема, высказанная Дж. Вильсоном и опубликованная в 1770 Варингом в его «Алгебраических размышлениях».Теорема эта гласит, что величина 1*2*3... (р-1)+1 делится без остатка на p, где р, как и всюду здесь, - простое число. Эта теорема, как и теорема Ферма, заключается в установленном Лагранжем общем сравнении
xp-1 - 1 ≡ (x + l) (x + 2)...(x + р - 1) (mod р)
при x = 0. Она была также доказана Эйлером («Аналитические сочинения», I, 1783) и Гауссом («Арифметические исследования», 1801). Упрощенное доказательство теоремы Ферма дал еще И.Г. Ламберт, охотно занимавшийся и теорией чисел (Nov. Acta Enid., 1769).

К важнейшим достижениям в исследовании целых чисел Эйлера привели старания доказать другую, упоминавшуюся уже, теорему Ферма о том, что всякое простое число вида 4т + 1 разбивается на сумму двух квадратов. Эйлер многократно и с различных сторон подходил к этой теореме и при этом нашел ряд интересных предложений. Окончательно доказать ее Эйлеру удалось лишь в 1749 [Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760)], воспользовавшись тем ходом мыслей, которым он шел в первом доказательстве теоремы о сравнении аm ≡ 1 (mod р). Это привело его к рассмотрению остатков от деления квадратов 12, 22, З2,..., (р-1)2на простое число р. Эйлер немедленно увидел, что при этом получаются «многие замечательные свойства, изучение которых проливает немало света на природу чисел». Таким образом, он впервые поставил вопрос о квадратичных вычетах и понял их значение. Здесь уже встречаются и термины: вычеты (residua) и невычеты (поп residua).




Скачать 66,12 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6




База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница