Issn 411-1473 Современные информационные технологии и ит-образование Научный журнал Том (№11) Москва


Аналитическое моделирование стохастических процессов ОТЭС



Скачать 27,21 Mb.
Pdf просмотр
страница495/553
Дата06.10.2019
Размер27,21 Mb.
#79117
1   ...   491   492   493   494   495   496   497   498   ...   553
3. Аналитическое моделирование стохастических процессов ОТЭС
Требованием, которое должно соблюдаться в стохастических моделях ОТЭС, является обеспечение баланса процессов, выражаемого соотношением:

i
=
1
n
x
X
ji
(
t
)=
N
j
T
j
,
(1)
где
j
T
j
N
— общее количество ресурса (продукции) заданного типа
j
на промежутках времени
j
T
между моментами пополнения;
( )
ji
X t
— количество ресурса (продукции) типа
j
, находящегося в состоянии «
i
».
576


Пуассоновские потоки, как известно, образуют в системе марковские процессы. В [8, 9]
показано, что модель ОТЭС, включающая детерминированную и стохастическую составляющие,
описывается стохастическим дифференциальным уравнением Ито, которое с учетом помех имеет вид:
dX
t
=Φ (
X
t
, t
)
dt
+

R
0
v
S
(
v
)
P
(
dt , dv
)+ ψ(
X
t
, t
)
dW
,
(2)
где второе слагаемое является
математической моделью графа
состояний (рис.2) и отражает структуру и описание основных параметров стохастических потоков и скачкообразных процессов
ОТЭС. Этот интеграл существует в силу ограниченности 2-го момента общего векторного пуассоновского процесса
( )
P t
, поскольку величина его скачков всегда ограничена по смыслу прикладных задач.
Приведем основные обозначения в (2) и их содержание:

( , )
t
Ф Х t
— непрерывная, детерминированная, в общем случае нелинейная векторная функция объекта, описывающая в модели ОТЭС, в частности, непрерывные текущие значения терминальных показателей эффективности управления (стоимости и качества процессов и продукции);

( )
S v

(
n
x
×
n
g
)
-мерная структурная матрица объекта, описывающая структуру пуассоновских потоков ресурсов, продукции объемами
v
, отраженных на графе состояний ;

1
( ) [
(
)...
(
)]
g
и
uk
uk
ukn
uk
S v
s
v
s
v
=

и
–я строка матрицы
( )
S v
;
(3)

(
)
uki
uk
s
v
- характеризуют величину и знак
uk
v
— составляющих вектора
v
ресурсов,
продукции, переходящих из состояния
u
в состояние
k
(
i
- номер текущего столбца при фиксированных
,
u k
;
1,...,
g
i
n
=
,
g
n
- количество переходов в системе, т.е. количество стрелок на графе) определяются следующим образом:
s
uki
(
v
uk
)=
{

v
u k
при
i
=
u ,
+
v
ku
при
i
=
k ,
0
при
i

u ,i

k
(4)

( , )
Р dt dv

векторная
пуассоновская мера размера
n
g
×
1
, равная при фиксированном
t
числу скачков за время
dt
попадающих в область
dv
;

R
0
q
v
=
R
0 12

R
0 13


R
0
uk

=

u ,k
=
1
u

k
n
x
R
0
uk
;
(5)
– пространство скачков вектора
( )
Х t
как прямое произведение подпространств скачков скалярных процессов
( )
и
Х t
в переходах
u
k
®
; нижний индекс 0 означает запрет на нулевое значение величины скачков;

v
— вектор случайных скачков общего векторного пуассоновского процесса
( )
P t
с математическим ожиданием
v
m
;

( )
W t
— помеха, стохастический процесс с независимыми приращениями;

( , )
t
Х t
y
- известная матричная функция.
В этих условиях интеграл в уравнении (2) сводится к виду:

R
0
q
v
S
(
v
)
P
(
dt , dv
)=
S
(
m
v
)ρ(
X , t
)
dt
+
S
(
m
v
)
dP
0
(
t
)
,
(6)
где:
[
]
12 13
( , )
( , )
( , ) ...
( , ) ...
Т
t
t
t
uk
t
Х t
Х t
Х t
Х t
r r
r r
=
— (
n
g
×
1
) — вектор, составленный из интенсивностей
( , )
uk
t
X t
r простых скалярных пуассоновских процессов
( )
uk
P t
в порядке,
согласованном со столбцами матрицы
( )
S v
577


Если скачки пуассоновского процесса являются известными
параметрами
, или параметрами, требующими идентификации в процессе фильтрации, выражение (5) записывается в виде, который будем считать общим:

R
0
q
v
S
(
v
)
P
(
dt , dv
)=
S
(
v
)ρ(
X , t
)
dt
+
S
(
v
)
dP
0
(
t
)
,
(7)
В этом случае система (2) описывается уравнением:
0
[ ( , )
( ) ( , )]
( )
( )
( , )
t
t
t
t

Ф Х t
S v
X t dt S v dР t
Х t dW
r y
=
+
+
+
(8)
Векторный процесс
( )
W t
в данном уравнении может иметь типовую структуру в виде аддитивной смеси винеровской и пуассоновской составляющих:
W
(
t
)=
W
0
(
t
)+

R
0
q
ϑ
C
(ϑ)
P
2
(
t , d
ϑ)
,
(9)
где:
)
(
0
t
W

n
w
×
1
— гауссовский винеровский процесс, порождающий центрированный
«белый шум» с диагональной матрицей интенсивности
0
( )
t
n размера
n
w
×
n
w
;
( )
С
J

структурная матрица, моделирующая пуассоновские переходы в
дополнительной системе
(типа рис.2) — матричная функция скачков
J
;
2
( ,
)
P t d
J

внешняя помеха, при фиксированном
t
представляющий собой (
n
w
×
1
) — мерный векторный нецентрированный пуассоновский процесс интенсивности
2
( )
P
t
n
, по отношению к
d
J
являющий пуассоновской мерой.
В [8],[9] для модели (8) и
( , ) 0
t
Х t
y
=
приведены общие уравнения для математического ожидания и ковариационной матрицы вектора
t
Х
:
(10)
где:
( )
( )
T
S v
S v
r
— интенсивность пуассоновского процесса
S
(
v
)
P
0
(
t
)
;
¯
ρ =
diag
ρ (
X
t
,t
)
- диагональная матрица, составленная из интенсивностей
( , )
uk
t
Х t
r
;
[ ]
M
·
— оператор математического ожидания.

Скачать 27,21 Mb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   491   492   493   494   495   496   497   498   ...   553




База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница