Issn 411-1473 Современные информационные технологии и ит-образование Научный журнал Том (№11) Москва


Пермутации симметрической группы в ритмике О. Мессиана



Скачать 27,21 Mb.
Pdf просмотр
страница385/553
Дата06.10.2019
Размер27,21 Mb.
#79117
1   ...   381   382   383   384   385   386   387   388   ...   553
3. Пермутации симметрической группы в ритмике О. Мессиана.
Творчество выдающегося французского композитора Оливье Мессиана (1908-1992)
довольно сильно повлияло на концепции европейской музыки второй половины XX в. особенно в части теории композиции [10]. Известно, что теория музыки в XX веке, во многом, складывалась не музыковедами, а композиторами, выступавшими в роли творцов новейших теоретических систем и среди них имена А. Шенберга, П. Хиндемита, Р. Штрауса и др. Свое учение создал также и О.
Мессиан. В основном оно сконцентрировано в незавершенном проекте 7-томного «Трактата о ритме, цвете и орнитологии», из которого пока опубликовано четыре тома [11].
В своем трактате Мессиан [11] основательно исследовал структуру музыкального ритма,
рассматривая его как основу всей композиции. По Мессиану: «Музыка, таким образом, частично делается звуками…, но также и прежде всего Длительностями, Напряжением и Отдыхом,
Акцентами, Интенсивностью и Плотностью, Атакой и Тембром — всем тем, что обобщается словом
«Ритм» [10]. Особенность этого исследования состоит в том, что подход Мессиана к построению ритма — это подход математика-пифагорейца, исповедующего тезис: «Все образуется по закону числа».
В одном из подходов к построению ритма Мессиан опирался на так называемый принцип пермутаций (перестановок), являющихся элементами соответствующей симметрической группы.
В этом случае полученные в результате перестановок числовые ряды соотносятся с длительностями, что предопределяет практически бесконечное разнообразие ритмических структур композиции. Такой подход используется в ряде оркестровых произведений Мессиана,
среди которых особо выделяется симфония «Хронохромия» (1959-60).
1). «Хронохромия» построена на двойном материале, звуковом и временном. Временной материал или ритмика — это 32 длительности, представленные в симметричных перестановках в таблице 1.
2). Звучащий материал или мелодика —пение птиц Франции, Швеции, Японии и Мексики,
а также звучание горных водопадов и ручьев в горах французских Альп.
3). Смешивание звуков и тембров осуществляется при помощи длительностей, которые тем самым артикулируются и окрашиваются. Цвет приводит к рассечению Времени. Заголовок
«Хронохромия» (от греческого
хрома —
цвет,
хронос —
время) переводится как «цвет времени».
4). Произведение устроено наподобие греческих трагедий, с удвоением строф и прибавлением Интродукции и Коды. Оно содержит семь частей, следующих одна за другой:
Интродукция — Строфа I — Антистрофа I — Строфа II — Антистрофа II — Эпод — Кода» [10].
424


Таблица 1. Варианты пермутаций 32-го порядка в «Хронохромии» О. Мессиана (цифры сверху —
длительности тактов, снизу — соответствующие №№ тактов)
Сам Мессиан приводит следующие соображения при построении ритмики «Хронохромии»
с помощью пермутаций таблицы 1: «Выберем хроматическую ритмическую гамму из 32-х тридцатьвторых длительностей, взятую со всеми промежуточными длительностями

и без пропусков. Если я захочу найти и использовать все пермутации, то мне не хватит жизни, чтобы их написать и тем более исполнить. Требуется выбор, и такой, чтобы в конце концов вернуться к заданному ряду. Поэтому я читаю ритмическую хроматическую гамму в определенном порядке,
затем я читаю результат в том же порядке, и снова так же, пока я не вернусь к первоначальному текстуальному порядку. Это делает число перестановок вполне разумным — чуть большим, чем число избранных объектов, а также весьма разнообразным для их употребления в наложениях друг на друга» [10]. По существу, Мессиан неявно изложил теоретико-групповые соображения.
425


Попытаемся изложить замысел Мессиана, используя язык теории групп, конкретно,
группы перестановок или, как это принято в современной алгебре, симметрической группы [3].
Для этого рассмотрим ритмический ряд № 1 в таблице 1. Стоящие в этом ряду длительности можно описать с помощью следующей подстановки:
g=
(
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
)
3 28 5 30 7 32 26 2 25 1
8 24 9 23 16 17 18 22 21 19 20 4 31 6 29 10 27 11 15 14 12 13
Данная подстановка
g
— это элемент симметрической группы
S
32
, которая содержит
32!
2,610
35

элементов. Это огромное число и это обстоятельство, собственно, отмечает Мессиан. Но почему берется именно эта подстановка?
Ответ на него затрагивает довольно тонкие теоретико-групповые представления современной алгебры. Известно, что теория групп, по сути, является математической теорией симметрии и тот факт, что Мессиан при построении композиции использовал такие сложные концепции, говорит о высокой эрудиции этого выдающегося композитора.
Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся теоремой [3], по которой всякая подстановка симметрической группы представляется в виде произведения независимых циклов. В
данном случае имеем:
(1,3,5,7,26,10)(2,28,11,8)(4,30,14,23,31,12,24,6,32,13,9,25,29,15,16,17,18,22)(19,21,20)(27)
Соответствующие длины циклов в данном произведении:
6, 4, 18, 3, 1
. Их
НОК
(
6, 4, 18, 3, 1
)
=
36
. Это означает [3], что подстановка
g
имеет порядок
36
, т.е.
g
36
=e,
где
e —
тождественная подстановка и, следовательно, строя композицию из
36
таких подстановок, получается хроматический ряд по длительностям. Таким образом, подстановка
g
порождает циклическую подгруппу
S
32
, порядок которой равен
36
, и, следовательно, при построении ритмики
«Хронохромии» Мессиан использует всего
36
подстановок (пермутаций).
Теперь следует выяснить, для чего используются три ритмических ряда в таблице
1, и как они взаимосвязаны. Для этого заметим, что такт
1
в ритмическом ряду № 1 совпадает с тактом
10
ряда № 2, такт
2
ряда № 1 — с тактом
8
ряда № 2 и т.д., в результате получается следующая подстановка:
h=(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
)
10
8
1
22
3
24
5
11
13
26
28
31
32
30
29
15
16
17
20
21
19
18
14
12
9
7
27
2
25
4
23
6
Легко видеть, что
h=g
-1
, т.е. ряд № 2 — это подстановка, обратная к ряду № 1.
Точно таким же образом для ряда № 3 получается следующая подстановка:
j=(
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
)
26 11 10 18 1 12 3 28 32 7
2 23 6
4 25 29 15 16 21 19 20 17 30 31 13 5 27 8
9 22 14 24
Данная подстановка имеет следующее разложение в произведение независимых циклов:
(1,26,5)(2,11)(3,10,7)(4,18,16,29,9,32,24,31,14)(6,12,23,30,22,17,15,25,13)(8,28)(27)(19,21,20)
Наименьшее общее кратное из длин этих циклов равно
18
, и, следовательно, подстановка
j
имеет порядок
18
, т.е.
j
18
=e
. В результате порождается циклическая подгруппа
18
-го порядка
S
32
. Непосредственно обнаруживается, что
gj=jg
. В силу цикличности подгрупп

,
последнее равенство означает, что подгруппа

есть

нормальный делитель в подгруппе

Приведенные соображения показывают, что Мессиан при построении ритмики
«Хронохромии» использовал достаточно тонкие представления из теории симметрических групп и, видимо, именно такой прием композитора позволил передать многообразие нюансов прекрасного птичьего пения. Следует также отметить, что число
27
в рассмотренных подстановках является инвариантом, которое связывается с числом Сатурна, т.е. Хроноса, имея в виду склонность Мессиана к числовой магии.

Скачать 27,21 Mb.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   381   382   383   384   385   386   387   388   ...   553




База данных защищена авторским правом ©psihdocs.ru 2022
обратиться к администрации

    Главная страница