|
Допустим необходимо оценить предпочтения ЛПР/эксперта на множестве вариантов А,В,С относительно критерия - размера дома. Лучше всего эту задачу свести к заполнению табл. 6.
|
|
Размерность таблицы определяется количеством дуг, которые входят в рассматриваемую вершину. Элементы таблицы  являются количественной оценкой интенсивности предпочтения i-го объекта, находящегося в i-й строке, относительно j-го объекта, находящегося в j-м столбце, в соответствии с вышерассмотренной шкалой. При этом сравнении ЛПР/эксперту задавался следующий вопрос : насколько один вариант (например А) превосходит по размеру другой вариант (например С)? Ответом ЛПР/эксперта, как следует из таблицы, было следующее суждение: существенное или сильное превосходство.
|
|
Таким же образом осуществляется оценка предпочтений ЛПР/эксперта относительно остальных критериев путем заполнения еще пяти аналогичных матриц размерностью 3х3. После чего метод парных сравнений распространяется на множество самих критериев относительно цели - покупки дома. В этом случае ЛПР/эксперту задается следующий вопрос: насколько важнее один критерий (например, размер дома) для реализации цели по сравнению с другим (например, финансовые условия)? Как следует из иерархии, размерность этой таблицы 6ґ6.
|
|
Принимая во внимание свойство матрицы, т.е.  и, как следствие,  , количество вопросов равно  .
|
|
 , (1)
|
|
где  - это элементы матрицы R*, полученные в результате идеально согласованного эксперимента.
|
|
Соотношение (1) соответствует правилу логического вывода (см. п. 2.5), которое в этом случае формулируется следующим образом: если i-й объект предпочтительнее k-го объекта на  и k-й объект предпочтительнее j-го объекта на , то i-й объект предпочтительней j-го объекта на , причем  .
|
|
Теорема. Если матрица R* обладает свойством (1), то тогда существуют такие числа  , что имеет место равенство
|
|
 . (2)
|
|
Числа  отождествляются с весами дуг (это множество W в графе G) либо с весами объектов первого уровня (это Zi , iОV1).
|
|
Матрица R* имеет единичный ранг,  - собственный вектор матрицы, где n - соответствующее ей собственное число.
|
|
 или  . (3)
|
|
Практически добиться полной согласованности (т.е. непротиворечивости) суждений ЛПР/эксперта далеко не всегда возможно. Поэтому в общем случае rij будут отклоняться от "идеальных"  , вследствие чего соотношения 1, 2, 3 не будут иметь место.
|
|
Для дальнейшего анализа полезными являются следующие два факта из теории матриц:
|
|
Во-первых, если l1, ..., ln являются собственными числами матрицы R и если  , то  . Согласно этому утверждению, если имеет место (3) (т.е. матрица является идеально согласованной), то все собственные числа ее - нули, за исключением одного, равного n.
|
|
Во-вторых, если элемент положительной обратносимметричной матрицы R незначительно изменить, то собственные числа этой матрицы также изменятся незначительно, т.е. они являются непрерывными функциями ее элементов.
|
|
Объединяя эти результаты, находим, что при малых изменениях rij от  наибольшее собственное число lmax (практически получаемой матрицы R при использовании метода парных сравнений) остается близким к n, а остальные собственные значения - близкими к нулю.
|
|
Отсюда можно сформулировать следующую задачу: для нахождения весов дуг или объектов первого уровня по полученной в результате метода парных сравнений матрице R необходимо определить собственный вектор  , соответствующий максимальному собственному числу, т.е. решить уравнение
|
|
 . (4)
|
|
Так как малые изменения в r i j,  вызывают малое изменение l max, отклонение последнего от n является мерой согласованности. Она может быть выражена с помощью индекса согласованности (ИС):
|
|
 (5)
|
|
Если ИСЈ 0,1, то практически считается, что мера согласованности находится на приемлемом уровне.
|
|
Индекс согласованности матрицы парных сравнений, элементы которой сгенерированы случайным образом, называется случайным индексом (СИ). Ниже представлена таблица соответствия порядка и среднего значения СИ, определенная на базе 100 случайных выборок (табл. 7) [15].
|
|
Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Значение ОС меньшее или равное 0,10 считается приемлемым. Обычно ИС и ОС указываются в процентах. Согласно определению, ИС можно трактовать как отклонение от идеально проведенного эксперимента (метода парных сравнений), а ОС указывает, на сколько оцениваемая степень согласованности сходится со степенью согласованности самого неидеально проведенного эксперимента.
|
|
Таким образом, МАИ допускает несогласованность (как неотъемлемую часть метода), признавая, что человеческие суждения находятся в постоянном процессе изменения и эволюции (поэтому не следует настаивать на 100 % согласованности, так как суждения могут измениться после того, как проблема решена). Но надежные решения не могут быть приняты без приемлемого уровня согласованности.
|
|
Для нахождения максимального собственного числа и соответствующего ему собственного вектора используется так называемый степенной метод, основанный на итерационном алгоритме [31]
|
|
lmax »  , (6)
|
|
где  - i-ая координата вектора ( ); m - номер итерации.
|
|
Если принять достаточно большой номер итерации m, то можно с любой точностью получить l max.. Для нахождения lmax можно использовать любую координату вектора и, в частности, можно взять среднее арифметическое:
|
|
l max =  . (7)
|
|
В качестве собственного вектора матрицы, соответствующего lmax, принимается нормированный вектор, вычисленный по рекуррентному выражению:
|
|
 , (8)
|
|
При m=0  - произвольный начальный вектор.
|
|
Реализация принципа синтеза составляет содержание третьего этапа. Искомые веса объектов определяются последовательно, начиная со второго уровня иерархии (рис. 8) в соответствии с решающим правилом
|
|
 (9)
|
|
Веса объектов, принадлежащих уровню альтернатив, можно считать как результат измерения их в шкале отношений в диапазоне [0,1].
|
|
Согласованность всей иерархии С определяется по следующему выражению:
|
|
 , (10)
|
|
где  ; ИСi , СИi – соответственно индекс согласованности и случайный индекс таблицы парных сравнений, рассмотренной относительно i-го объекта. Если iОV1 и i>1, то для  ; ИC1 и СИ1 - соответствующие параметры таблицы парных сравнений, которая была сформирована для определения весов объектов первого уровня.
|
|
Приемлемым является значение С меньше или равное 10%. В противном случае качество суждений следует улучшить. Возможно, следует пересмотреть формулировку вопросов при проведении парных сравнений. Если это не поможет улучшить согласованность, то, вероятно, задачу следует более точно структурировать, т.е. вернуться к этапу 1.
|
4.5. Общая оценка МАИ как метода принятия решений
|
|
|
Принятие решений складывается в многодисциплинарную область исследований, в которой работают менеджеры, психологи, математики, программисты, экономисты, юристы, инженеры. Отметим, что эта многодисциплинарность является как бы переходным этапом к появлению новой дисциплины, в рамках которой специалисты будут обладать необходимыми научными знаниями из приведенных выше дисциплин, а также новыми знаниями по проблемам, ранее не изучавшимся.
|
|
Рассмотрим, насколько удовлетворяет МАИ ряду требований к научному обоснованию методов принятия решений:
|
|
1. В МАИ способы получения информации от ЛПР/эксперта соответствуют данным когнитивной психологии о возможностях человека перерабатывать информацию. Действительно, гомогенность и принцип иерархической декомпозиции приводят в соответствие проблему получения оценок с психометрическими возможностями человека.
|
|
2. В МАИ имеется возможность проверки информации, полученной от ЛПР/эксперта на логическую непротиворечивость, посредством индекса и отношения согласованности как для отдельных матриц, так и для всей иерархии.
|
|
3. Любые соотношения между вариантами решений в МАИ объяснимы на основе информации, полученной от ЛПР/экспертов. Так, анализ весов объектов по нисходящим уровням иерархии позволяет понять, как получено то или иное значение веса.
|
|
4. Математическая правомочность решающего правила в МАИ прозрачна и базируется на методе собственных значений и принципе иерархической композиции, имеющих четкое математическое обоснование.
|
|
Таким образом, МАИ удовлетворяет четырем основным критериям, обеспечивающим всестороннюю научную обоснованность метода принятия решений.
|
5. Вопросы применения МАИ
|
|
|
Решающим преимуществом МАИ над большинством существующих методов оценивания альтернатив является отчетливое выражение суждений экспертов и ЛПР, а также ясное представление структуры проблемы: элементов и взаимозависимостей между ними.
|
|
Сложность, как было уже сказано, характеризуется большим числом взаимодействий между многими субъективными и объективными факторами различного типа и степени важности, а также группами людей с различными целями и противоречивыми интересами. Эти факторы определяют вероятность или невозможность выбора одной из альтернатив, которая приемлема для всех с определенной степенью компромисса.
|
|
Чтобы разобраться с этой сложностью, нужна систематическая процедура для представления групп, их целей, критериев и поведения, обусловленных этими целями, альтернативных исходов и ресурсов, распределяемых по этим альтернативам. В МАИ эта процедура сводится к построению иерархии проблемы.
|
|
Общая цель (фокус) проблемы (например, выбор наилучшего автомобиля, построение наилучшей системы, распределение ресурса в соответствии с важностью) является обычно высшим уровнем иерархии. За фокусом следует уровень наиболее важных критериев (таких, как стоимость, стиль, комфортабельность и размеры автомобиля, или же в планировании - прибыльность инвестиции, конкуренция и т.д.). Каждый из критериев может разделяться на субкритерии. За субкритериями следует уровень альтернатив, число которых может быть достаточно большим.
|
|
Как будет показано, в некоторые иерархии может быть включен уровень действующих сил (акторов), который расположен ниже уровня общих критериев. Уровень определяет, какой из акторов наибольшим образом воздействует на исход. За этим уровнем для каждого актора следует уровень целей акторов, за которым следует уровень политик акторов, и далее - уровень альтернативных исходов.
|
|
В общем, декомпозиция проблемы в иерархию зависит от хода мыслей ЛПР (его концепции решения проблемы), интуиции и опыта.
|
|
С целью иллюстрации этапов МАИ рассмотрим несколько упрощённых (формируется и исследуется лишь цикл моделирования, см. схема 5, упращены формултровки критериев и альтернатив) примеров использования метода в различных областях человеческой деятельности (п.п.5.1 – 5.5).
|
5.1. Некоторые типовые примеры
|
|
|
Пример 3. Задача о выборе места работы. Со студентом, только что получившим диплом, беседовали о трех возможных местах работы (А, Б и В). Он решил использовать МАИ для осуществления своего выбора. В результате первого этапа применения МАИ была получена следующая иерархия (рис. 11).
|
|
Выполнение второго этапа связано с заполнением нижеприведенных таблиц по методу парных сравнений с применением шкалы относительной важности. В результате обработки таблиц получаем собственные вектора, которые определяют веса соответствующих дуг.
|
|
lмах = 6,35; ИС = 0,07; ОС = 0,06.
|
|
В табл. 8 пары критериев сравниваются с точки зрения их относительного вклада в общее понятие "удовлетворение работой". Задавался вопрос: который из заданной пары критериев представляется вносящим больший вклад в понятие "удовлетворение работой" и насколько? Например, число 5 в третьей строке и четвертом столбце показывает, что "доходы" намного важнее, чем "общество коллег".
|
|
В табл. 9 представлены результаты парных сравнений относительно соответствующих критериев.
|
|
lмах =3,00; ИС = 0; ОС = 0 lмах = 3,05; ИС =0,025; ОС =0,04 Результатом третьего этапа (синтеза) является определение весов Zi `  согласно соотношению (9). Так как уровень 1 имеет одну цель, то Z1= 1. Отсюда Z2 =  21 ЧZ1 =0,16; Z3 = 31 ЧZ1 =0,19; Z4 = 41 ЧZ1 =0,19;
|
|
Z5 = 51 ЧZ1=0,05; Z6 = 61 ЧZ1 =0,12; Z7 = 71 ЧZ1 =0,30. Вычислив веса критериев, переходим к вычислению весов альтернатив (т.е. объектов третьего уровня):
|
|
Z8 = 82 ЧZ2 + 83 ЧZ3 + 84 ЧZ4 + 85 ЧZ5 + 86 ЧZ6 + 87 ЧZ7 =0,16Ч0,16 + +0,33Ч0,19 +0,45Ч0,19 + 0,77Ч0,05 + 0,25Ч0,12 + 0,69Ч0,3 = 0,45;
|
|
Z9 = 92 ЧZ2 + 93 ЧZ3 + 94 ЧZ4 + 95 ЧZ5 + 96 ЧZ6 + 97 ЧZ7 =0,59Ч0,16 + +0,33Ч0,19 + 0,09Ч0,19 + 0,05Ч0,05 + 0,5Ч0,12 + 0,09Ч0,3 = 0,25;
|
|
Z10 = 102 ЧZ2 + 103 ЧZ3 + 104 ЧZ4 + 105 ЧZ5 + 106 ЧZ6 + 107 ЧZ7 =0,25Ч0,16 +
|
|
+0,33Ч0,19+0,46Ч0,19 + 0,17Ч0,05 + 0,25Ч0,12 + 0,22Ч0,3 = 0,3.
|
|
Таким образом, в конечном счете А имеет вес 0,45, Б - 0,25 и В - 0,3.
|
Поделитесь с Вашими друзьями: |
